Um freezer tem uma temperatura de -23^{\circ} \mathrm{C}. Na parte exterior do freezer a temperatura é de 27^{\circ} \mathrm{C}. Considerando que as perdas devido ao isolamento térmico variam numa taxa de 50 W , calcule a potência mínima do motor para que o freezer mantenha sua temperatura.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa única:
  • Temperatura interna do freezer: -23^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa (ambiente): 27^\circ\mathrm{C}.
  • Taxa de perda de calor através do isolamento (potência térmica que entra no freezer): 50\\ \mathrm{W}.
  • Pergunta: calcular a potência mínima do motor para que o freezer mantenha sua temperatura.

Passo 2

Entendendo o que é preciso fazer (sem ainda calcular): para manter a temperatura interna estacionária, o sistema de refrigeração precisa remover do interior do freezer a mesma potência térmica que entra pelo isolamento, ou seja, remover 50\\ \mathrm{W}. A potência mínima do motor é a potência de trabalho elétrica/mecânica que deve ser fornecida ao refrigerador para extrair essa potência térmica, no melhor caso teórico (limite ideal). Agora vamos ver a relação entre calor extraído, trabalho e a eficiência ideal de um refrigerador.

Passo 3

Convertemos as temperaturas de Celsius para Kelvin (sempre usar Kelvin nas fórmulas térmicas):
T_L = -23^\circ\mathrm{C} = -23 + 273{,}15 = 250{,}15\\ \mathrm{K}
T_H = 27^\circ\mathrm{C} = 27 + 273{,}15 = 300{,}15\\ \mathrm{K}
Aqui T_L é a temperatura do reservatório frio (interior do freezer) e T_H é a temperatura do reservatório quente (ambiente externo).

Passo 4

Apresentando a fórmula do limite ideal: o coeficiente de desempenho (COP) de um refrigerador é definido por
\mathrm{COP}=\frac{Q_L}{W},
onde:
  • Q_L é a taxa de calor retirada do reservatório frio (potência térmica extraída, em \mathrm{W});
  • W é a potência de trabalho fornecida ao refrigerador (em \mathrm{W}).
O maior valor possível de \mathrm{COP} para um refrigerador reversível é o limite de Carnot, dado por
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{T_L}{T_H-T_L},
onde T_L e T_H estão em Kelvin. Esta é a eficiência máxima teórica — qualquer refrigerador real terá \mathrm{COP} menor devido a perdas irreversíveis.

Passo 5

Calculamos o \mathrm{COP}_{\text{Carnot}} com os valores de temperatura:
T_H-T_L = 300{,}15 - 250{,}15 = 50{,}00\\ \mathrm{K}
\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=\frac{250{,}15}{50{,}00}=5{,}003
Interpretação: no melhor caso ideal, cada 1 W de trabalho permite remover cerca de 5{,}003\\ \mathrm{W} de calor do interior.

Passo 6

Agora relacionamos Q_L (a perda térmica que precisa ser removida) com o trabalho mínimo W_{\min}. Pela definição do COP:
W_{\min}=\frac{Q_L}{\mathrm{COP}_{\text{Carnot}}}.
Substituindo Q_L=50\\ \mathrm{W} e \mathrm{COP}_{\text{Carnot}}=5{,}003:
W_{\min}=\frac{50}{5{,}003}\\ \mathrm{W}\approx 9{,}998\\ \mathrm{W}.
Arredondando de forma prática, W_{\min}\approx 10\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação final e observação prática: o cálculo acima dá a potência mínima teórica (limite de Carnot) que o motor deve fornecer para manter -23^\circ\mathrm{C} com perda térmica de 50\\ \mathrm{W}. Refrigeradores reais têm irreversibilidades e perdas (compressor ineficiente, perdas mecânicas, etc.), então o motor prático precisará fornecer mais potência que esse mínimo. Mas como a questão pediu a potência mínima, a resposta é o valor obtido no limite ideal.

Resposta

P_{\min}\approx 10\\ \mathrm{W}

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