Uma máquina tem um rendimento de
e recebe 200 J de calor do reservatório quente. Admitindo que o enunciado de Clausius é falso, mostre que se esta máquina opera com um refrigerador perfeito, o enunciado de Kelvin-Planck é violado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
- Uma máquina térmica tem rendimento
. - A máquina recebe do reservatório quente uma quantidade de calor
. - Devemos admitir que o enunciado de Clausius é falso e que, portanto, existe um “refrigerador perfeito” que transfere calor do reservatório frio para o quente sem necessidade de trabalho externo.
- O objetivo: mostrar que, sob essa hipótese, o enunciado de Kelvin–Planck é violado.
Passo 2
Vou explicar os enunciados envolvidos, de forma bem direta:
- Enunciado de Clausius (versão usual): “É impossível um processo cujo único resultado seja a transferência de calor de um corpo mais frio para um mais quente, sem trabalho externo.” Dizer que Clausius é falso significa que existe um dispositivo que realiza exatamente essa transferência sem consumir trabalho — esse é o tal refrigerador perfeito que o enunciado pede que assumamos.
- Enunciado de Kelvin–Planck: “É impossível construir um dispositivo que, operando em ciclo, converta todo o calor recebido de um único reservatório térmico integralmente em trabalho, sem produzir nenhum outro efeito.” Para violar Kelvin–Planck basta mostrar um ciclo cujo único resultado seja retirar certa quantidade de calor de um reservatório quente e transformá‑la completamente em trabalho.
Passo 3
Vamos traduzir o rendimento da máquina em fórmulas e calcular o trabalho que ela produz.
- Definição de rendimento:
, onde -
é o trabalho útil produzido pela máquina em um ciclo, -
é o calor absorvido do reservatório quente nesse ciclo.
-
- Substituindo os valores dados:
- Isolando
:
Portanto, a máquina produz
de trabalho por ciclo.
Passo 4
Pela conservação da energia (primeira lei) aplicada ao ciclo da máquina temos:
onde
é o calor rejeitado para o reservatório frio. Já conhecendo
e
, calculamos
:
Interpretação física: a máquina, por ciclo, pega
do quente, converte
em trabalho e despeja
no frio.
Passo 5
Agora usamos a hipótese de que existe um refrigerador perfeito (contradição do enunciado de Clausius). Por “refrigerador perfeito” entendemos um aparelho que, sem consumir trabalho nem causar outro efeito, transfere calor do reservatório frio para o quente. Em particular podemos escolher que ele transfira exatamente os
que a máquina rejeitou para o frio, retornando-os ao reservatório quente.
Passo 6
Combine os dois dispositivos (a máquina e o refrigerador perfeito) operando juntos em ciclo:
- Máquina: retira
do reservatório quente, produz de trabalho, e libera no reservatório frio. - Refrigerador perfeito: retira
do reservatório frio e devolve ao reservatório quente, sem consumir trabalho.
Somando efeitos:
- Reservatório frio: recebe
da máquina e perde pelo refrigerador → variação líquida . - Reservatório quente: perde
pela máquina e ganha pelo refrigerador → variação líquida (ou seja, o conjunto retirou do quente). - Trabalho: o sistema produziu
de trabalho útil e não houve outro efeito residual.
Passo 7
Conclusão lógica: o efeito combinado é retirar
de calor de um único reservatório quente e convertê‑los integralmente em
de trabalho, sem causar qualquer outra mudança em nenhum reservatório. Isso é exatamente o tipo de processo proibido pelo enunciado de Kelvin–Planck. Portanto, assumindo que existe um refrigerador perfeito (i.e., que Clausius é falso), obtemos uma violação do enunciado de Kelvin–Planck.
Resposta
Sim. A combinação converte integralmente
de calor retirado do reservatório quente em
de trabalho, sem outro efeito, violando o enunciado de Kelvin–Planck.