Uma máquina tem um rendimento de 30 \% e recebe 200 J de calor do reservatório quente. Admitindo que o enunciado de Clausius é falso, mostre que se esta máquina opera com um refrigerador perfeito, o enunciado de Kelvin-Planck é violado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue:
  • Uma máquina térmica tem rendimento \eta = 30\%.
  • A máquina recebe do reservatório quente uma quantidade de calor Q_H = 200\\ \text{J}.
  • Devemos admitir que o enunciado de Clausius é falso e que, portanto, existe um “refrigerador perfeito” que transfere calor do reservatório frio para o quente sem necessidade de trabalho externo.
  • O objetivo: mostrar que, sob essa hipótese, o enunciado de Kelvin–Planck é violado.

Passo 2

Vou explicar os enunciados envolvidos, de forma bem direta:
  • Enunciado de Clausius (versão usual): “É impossível um processo cujo único resultado seja a transferência de calor de um corpo mais frio para um mais quente, sem trabalho externo.” Dizer que Clausius é falso significa que existe um dispositivo que realiza exatamente essa transferência sem consumir trabalho — esse é o tal refrigerador perfeito que o enunciado pede que assumamos.
  • Enunciado de Kelvin–Planck: “É impossível construir um dispositivo que, operando em ciclo, converta todo o calor recebido de um único reservatório térmico integralmente em trabalho, sem produzir nenhum outro efeito.” Para violar Kelvin–Planck basta mostrar um ciclo cujo único resultado seja retirar certa quantidade de calor de um reservatório quente e transformá‑la completamente em trabalho.

Passo 3

Vamos traduzir o rendimento da máquina em fórmulas e calcular o trabalho que ela produz.
  • Definição de rendimento: \displaystyle \eta \equiv \frac{W}{Q_H}, onde
    • W é o trabalho útil produzido pela máquina em um ciclo,
    • Q_H é o calor absorvido do reservatório quente nesse ciclo.
  • Substituindo os valores dados: \eta = 0,30 = \frac{W}{200\\ \text{J}}.
  • Isolando W: W = 0,30 \times 200\\ \text{J} = 60\\ \text{J}.
Portanto, a máquina produz 60\\ \text{J} de trabalho por ciclo.

Passo 4

Pela conservação da energia (primeira lei) aplicada ao ciclo da máquina temos:
Q_H = W + Q_C,
onde Q_C é o calor rejeitado para o reservatório frio. Já conhecendo Q_H e W, calculamos Q_C:
Q_C = Q_H - W = 200\\ \text{J} - 60\\ \text{J} = 140\\ \text{J}.
Interpretação física: a máquina, por ciclo, pega 200\\ \text{J} do quente, converte 60\\ \text{J} em trabalho e despeja 140\\ \text{J} no frio.

Passo 5

Agora usamos a hipótese de que existe um refrigerador perfeito (contradição do enunciado de Clausius). Por “refrigerador perfeito” entendemos um aparelho que, sem consumir trabalho nem causar outro efeito, transfere calor do reservatório frio para o quente. Em particular podemos escolher que ele transfira exatamente os 140\\ \text{J} que a máquina rejeitou para o frio, retornando-os ao reservatório quente.

Passo 6

Combine os dois dispositivos (a máquina e o refrigerador perfeito) operando juntos em ciclo:
  • Máquina: retira 200\\ \text{J} do reservatório quente, produz 60\\ \text{J} de trabalho, e libera 140\\ \text{J} no reservatório frio.
  • Refrigerador perfeito: retira 140\\ \text{J} do reservatório frio e devolve 140\\ \text{J} ao reservatório quente, sem consumir trabalho.
Somando efeitos:
  • Reservatório frio: recebe 140\\ \text{J} da máquina e perde 140\\ \text{J} pelo refrigerador → variação líquida 0.
  • Reservatório quente: perde 200\\ \text{J} pela máquina e ganha 140\\ \text{J} pelo refrigerador → variação líquida -60\\ \text{J} (ou seja, o conjunto retirou 60\\ \text{J} do quente).
  • Trabalho: o sistema produziu 60\\ \text{J} de trabalho útil e não houve outro efeito residual.

Passo 7

Conclusão lógica: o efeito combinado é retirar 60\\ \text{J} de calor de um único reservatório quente e convertê‑los integralmente em 60\\ \text{J} de trabalho, sem causar qualquer outra mudança em nenhum reservatório. Isso é exatamente o tipo de processo proibido pelo enunciado de Kelvin–Planck. Portanto, assumindo que existe um refrigerador perfeito (i.e., que Clausius é falso), obtemos uma violação do enunciado de Kelvin–Planck.

Resposta

Sim. A combinação converte integralmente 60\\ \text{J} de calor retirado do reservatório quente em 60\\ \text{J} de trabalho, sem outro efeito, violando o enunciado de Kelvin–Planck.

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