-4 A frequência de oscilação de um certo circuito L C é 200 kHz . No instante t=0 a placa A do capacitor está com a carga positiva máxima. Determine em que instante t>0 (a) a placa estará novamente, pela primeira vez, com a carga positiva máxima; (b) a outra placa do capacitor estará pela primeira vez com a carga positiva máxima; (c) o indutor estará pela primeira vez com o campo magnético máximo.

Passo 1

O enunciado dá a frequência de oscilação de um circuito LC como f=200\\ \text{kHz} e informa que, em t=0, a placa A do capacitor está com a carga positiva máxima. Pede-se, para t>0:
(a) o instante em que a placa A volta a ter carga positiva máxima;
(b) o instante em que a outra placa do capacitor (placa B) tem carga positiva máxima;
(c) o instante em que o indutor atinge o campo magnético máximo.
O conteúdo usado será o de oscilações harmônicas em circuito LC, com
q(t)=Q_0\cos(\omega t),
i(t)=\frac{dq}{dt}=-Q_0\,\omega\sin(\omega t),
e a relação \omega=2\pi f, T=1/f.

Passo 2

Calculamos a frequência angular \omega e o período T:
\omega = 2\pi f = 2\pi \times 200\times10^3\\ \text{rad/s},
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{200\times10^3} = 5\times10^{-6}\\ \text{s}.

Passo 3

(a) Para a placa A voltar a ter carga positiva máxima, é preciso \cos(\omega t)=1. Isso ocorre em
\omega t = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{2\pi}{\omega} = T = 5\times10^{-6}\\ \text{s}.

Passo 4

(b) A outra placa B tem carga q_B=-q_A. Para q_B ser positivo máximo, precisamos de q_A negativo máximo, ou seja \cos(\omega t)=-1. Isso dá
\omega t = \pi \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\pi}{\omega} = \frac{T}{2} = 2,5\times10^{-6}\\ \text{s}.

Passo 5

(c) O indutor armazena energia máxima quando a corrente i(t) atinge módulo máximo, isto é |\sin(\omega t)|=1. A primeira vez ocorre em
\omega t = \frac{\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad t = \frac{\pi/2}{\omega} = \frac{T}{4} = 1,25\times10^{-6}\\ \text{s}.

Resposta

(a) 5\times10^{-6}\\ \text{s}
(b) 2,5\times10^{-6}\\ \text{s}
(c) 1,25\times10^{-6}\\ \text{s}

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