(Frequência de Ressonância da Amplitude) Numa oscilação forçada descrita por m \ddot{x}+ b \dot{x}+k x=F_{0} \cos \left(\omega_{d} t\right), a amplitude máxima do deslocamento não ocorre exatamente na frequência natural \omega_{0} quando existe amortecimento. Qual é a expressão analítica rigorosa para a frequência impulsora \omega_{d} que maximiza a amplitude de posição do sistema?
a) \omega_{d}=\omega_{0}
b) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}
c) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \gamma^{2}}
d) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\gamma^{2}}
e) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-4 \gamma^{2}}
Passo 1
O enunciado dá a equação do movimento forçado amortecido
e pergunta qual é a expressão analítica para a frequência impulsora \omega_{d} que maximiza a amplitude do deslocamento no regime permanente. Dados/quantidades relevantes fornecidas:
massa: m.
coeficiente de amortecimento viscoso: b.
constante elástica: k.
força harmônica de amplitude: F_{0} e frequência impulsora: \omega_{d}.
As incógnitas que devemos responder:
Encontrar \omega_{d} que maximiza a amplitude de posição (no estado estacionário).
Passo 2
Para achar a amplitude em regime permanente é prático buscar a solução particular harmônica. Vou assumir uma solução particular do tipo (usar notação complexa facilita):
onde \omega é a frequência impulsora (escreverei \omega em vez de \omega_{d} durante a derivação para simplificar) e \tilde{X} é a amplitude complexa a determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para \tilde{X}.
Passo 3
Substituindo x_{p}(t)=\Re\{\tilde{X}e^{i\omega t}\} na equação e usando \ddot{x}_{p}\mapsto -\omega^{2}\tilde{X}e^{i\omega t}, \dot{x}_{p}\mapsto i\omega\tilde{X}e^{i\omega t}, obtemos a equação complexa:
Explicando: o numerador é F_{0} e o denominador é a magnitude do número complexo k-m\omega^{2}+i b\omega, que é \sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}.
Passo 5
É conveniente reescrever em termos da frequência natural e do parâmetro de amortecimento usual. Definir
desde que o argumento da raiz seja positivo (caso contrário o máximo ocorre em \omega=0).
Passo 8
Verificação de que essa solução é um mínimo de D(\omega) (logo máximo de A(\omega)): calculamos a segunda derivada e avaliamos no ponto crítico. A segunda derivada simplificada leva a
Se \omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}>0 então a segunda derivada é positiva e D(\omega) tem mínimo ali, confirmando que A(\omega) tem máximo em \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}. Se \omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}\le 0 não existe máximo interior positivo e a amplitude decresce com \omega a partir de \omega=0.
Passo 9
Conclusão: a frequência impulsora positiva que maximiza a amplitude de posição (quando ela existe como valor real) é
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}.
Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (c). Uma observação prática: para amortecimento pequeno (\gamma\ll\omega_{0}) a frequência de pico é levemente menor que \omega_{0}, pois \sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}\approx\omega_{0}\big(1-\gamma^{2}/\omega_{0}^{2}\big).