(Frequência de Ressonância da Amplitude) Numa oscilação forçada descrita por m \ddot{x}+ b \dot{x}+k x=F_{0} \cos \left(\omega_{d} t\right), a amplitude máxima do deslocamento não ocorre exatamente na frequência natural \omega_{0} quando existe amortecimento. Qual é a expressão analítica rigorosa para a frequência impulsora \omega_{d} que maximiza a amplitude de posição do sistema?
a) \omega_{d}=\omega_{0}
b) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}
c) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \gamma^{2}}
d) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}+\gamma^{2}}
e) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-4 \gamma^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação do movimento forçado amortecido
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_{0}\cos\left(\omega_{d}t\right)
e pergunta qual é a expressão analítica para a frequência impulsora \omega_{d} que maximiza a amplitude do deslocamento no regime permanente. Dados/quantidades relevantes fornecidas:
  • massa: m.
  • coeficiente de amortecimento viscoso: b.
  • constante elástica: k.
  • força harmônica de amplitude: F_{0} e frequência impulsora: \omega_{d}.
    As incógnitas que devemos responder:
  • Encontrar \omega_{d} que maximiza a amplitude de posição (no estado estacionário).

Passo 2

Para achar a amplitude em regime permanente é prático buscar a solução particular harmônica. Vou assumir uma solução particular do tipo (usar notação complexa facilita):
x_{p}(t)=\Re\!\left\{\tilde{X}e^{i\omega t}\right\},
onde \omega é a frequência impulsora (escreverei \omega em vez de \omega_{d} durante a derivação para simplificar) e \tilde{X} é a amplitude complexa a determinar. Substituindo essa forma na equação diferencial transforma a equação diferencial em uma equação algébrica para \tilde{X}.

Passo 3

Substituindo x_{p}(t)=\Re\{\tilde{X}e^{i\omega t}\} na equação e usando \ddot{x}_{p}\mapsto -\omega^{2}\tilde{X}e^{i\omega t}, \dot{x}_{p}\mapsto i\omega\tilde{X}e^{i\omega t}, obtemos a equação complexa:
\left(-m\omega^{2}+i b\omega + k\right)\tilde{X}=F_{0}.
Dessa relação, a amplitude complexa é
\tilde{X}=\frac{F_{0}}{k-m\omega^{2}+i b\omega}.

Passo 4

A amplitude real (módulo da resposta em regime estacionário) é o módulo de \tilde{X}:
A(\omega)=\left|\tilde{X}\right|=\frac{F_{0}}{\sqrt{\left(k-m\omega^{2}\right)^{2}+\left(b\omega\right)^{2}}}.
Explicando: o numerador é F_{0} e o denominador é a magnitude do número complexo k-m\omega^{2}+i b\omega, que é \sqrt{(k-m\omega^{2})^{2}+(b\omega)^{2}}.

Passo 5

É conveniente reescrever em termos da frequência natural e do parâmetro de amortecimento usual. Definir
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},\qquad \gamma=\frac{b}{2m}.
Com isso k-m\omega^{2}=m(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}) e b\omega=2m\gamma\omega. Substituindo em A(\omega) obtemos
A(\omega)=\frac{F_{0}}{m\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(2\gamma\omega\right)^{2}}}.
Como F_{0} e m são constantes, maximizar A(\omega) é equivalente a minimizar o quadrado do denominador. Definimos a função a minimizar:
D(\omega)=\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\left(2\gamma\omega\right)^{2}.

Passo 6

Para encontrar o mínimo de D(\omega) (com \omega\ge 0), derivamos D(\omega) em relação a \omega e igualamos a zero:
\frac{dD}{d\omega}=\frac{d}{d\omega}\!\left[(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+4\gamma^{2}\omega^{2}\right].
Calculando a derivada passo a passo:
\frac{d}{d\omega}\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}=2(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})\cdot(-2\omega)=-4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}),
e
\frac{d}{d\omega}\left(4\gamma^{2}\omega^{2}\right)=8\gamma^{2}\omega.
Somando,
\frac{dD}{d\omega}=-4\omega(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})+8\gamma^{2}\omega.

Passo 7

Fatorando 4\omega da derivada:
\frac{dD}{d\omega}=4\omega\left(-\omega_{0}^{2}+\omega^{2}+2\gamma^{2}\right).
As soluções de \frac{dD}{d\omega}=0 são \omega=0 ou
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}.
Estamos interessados na frequência positiva diferente de zero que dá o pico de amplitude, portanto
\omega_{\text{res}}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}},
desde que o argumento da raiz seja positivo (caso contrário o máximo ocorre em \omega=0).

Passo 8

Verificação de que essa solução é um mínimo de D(\omega) (logo máximo de A(\omega)): calculamos a segunda derivada e avaliamos no ponto crítico. A segunda derivada simplificada leva a
\frac{d^{2}D}{d\omega^{2}}\Big|_{\omega^{2}=\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}=8\big(\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}\big).
Se \omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}>0 então a segunda derivada é positiva e D(\omega) tem mínimo ali, confirmando que A(\omega) tem máximo em \omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}. Se \omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}\le 0 não existe máximo interior positivo e a amplitude decresce com \omega a partir de \omega=0.

Passo 9

Conclusão: a frequência impulsora positiva que maximiza a amplitude de posição (quando ela existe como valor real) é
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}.
Entre as alternativas dadas, isso corresponde à alternativa (c). Uma observação prática: para amortecimento pequeno ( \gamma\ll\omega_{0}) a frequência de pico é levemente menor que \omega_{0}, pois \sqrt{\omega_{0}^{2}-2\gamma^{2}}\approx\omega_{0}\big(1-\gamma^{2}/\omega_{0}^{2}\big).

Resposta

c) \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \gamma^{2}}

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