(Frequência Amortecida) Um sistema massa-mola em um meio viscoso é composto por uma massa de
, uma mola com constante elástica
e constante de amortecimento
. Determine a frequência angular amortecida (
) com que este sistema oscila.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- massa:
- constante da mola:
- constante de amortecimento:
- massa:
-
O que pede:
- Determinar a frequência angular amortecida
com que o sistema oscila. - Há alternativas; precisamos identificar qual corresponde ao valor calculado.
- Determinar a frequência angular amortecida
Passo 2
Apresentar a fórmula e explicar cada termo (aquelas contas que sempre aparecem em provas).
O movimento livre amortecido de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é modelado pela equação diferencial
Dela surgem dois parâmetros úteis:
- a frequência angular natural (não amortecida)
onde
é a rigidez da mola e
a massa;
tem unidades de
.
- o coeficiente de amortecimento por unidade de massa (meio termo)
onde
é a constante de amortecimento (unidade
);
tem unidades de
.
Se o amortecimento for leve (under-damped), isto é, se
, o sistema oscila com frequência angular amortecida dada por
Explicando em palavras:
é a frequência do oscilador sem perda de energia;
mede a rapidez com que a amplitude decai. Quando
é pequeno em relação a
, o comportamento é oscilatório com frequência ligeiramente menor que
.
Passo 3
Calcular
e
com os números do enunciado, passo a passo.
Calculemos primeiro
:
Agora
:
Verificação do regime (para garantir que a fórmula para
vale):
logo o sistema é subamortecido (under-damped) e oscila com frequência
dada pela fórmula acima.
Passo 4
Calcular
substituindo os valores e fazer a conta com cuidado (sem pular etapas).
Escrevendo a fórmula:
Calcular os quadrados:
Subtrair:
Aproximação manual controlada: note que
Para números muito próximos de
podemos usar
. Aqui
, então
. Portanto
Passo 5
Interpretação final e checagem com as alternativas.
- O valor calculado é
. - Comparando com as alternativas oferecidas, a que coincide é a letra (a).
Resposta
a)