(Frequência Amortecida) Um sistema massa-mola em um meio viscoso é composto por uma massa de 0,5 \mathrm{~kg}, uma mola com constante elástica k=50 \mathrm{~N} / \mathrm{m} e constante de amortecimento b=0,2 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Determine a frequência angular amortecida ( \omega^{\prime} ) com que este sistema oscila.
a) \approx 9,998 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
b) \approx 10,000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
c) \approx 14,142 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
d) \approx 9,798 \mathrm{rad} / \mathrm{s}
e) \approx 4,990 \mathrm{rad} / \mathrm{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • massa: m=0{,}5\\ \mathrm{kg}
    • constante da mola: k=50\\ \mathrm{N}/\mathrm{m}
    • constante de amortecimento: b=0{,}2\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
  • O que pede:
    • Determinar a frequência angular amortecida \omega' com que o sistema oscila.
    • Há alternativas; precisamos identificar qual corresponde ao valor calculado.

Passo 2

Apresentar a fórmula e explicar cada termo (aquelas contas que sempre aparecem em provas).
O movimento livre amortecido de um sistema massa-mola com amortecimento viscoso é modelado pela equação diferencial
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Dela surgem dois parâmetros úteis:
  • a frequência angular natural (não amortecida)
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}},
onde k é a rigidez da mola e m a massa; \omega_{0} tem unidades de \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • o coeficiente de amortecimento por unidade de massa (meio termo)
\gamma=\frac{b}{2m},
onde b é a constante de amortecimento (unidade \mathrm{kg}/\mathrm{s}); \gamma tem unidades de \mathrm{s}^{-1}.
Se o amortecimento for leve (under-damped), isto é, se \gamma<\omega_{0}, o sistema oscila com frequência angular amortecida dada por
\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Explicando em palavras: \omega_{0} é a frequência do oscilador sem perda de energia; \gamma mede a rapidez com que a amplitude decai. Quando \gamma é pequeno em relação a \omega_{0}, o comportamento é oscilatório com frequência ligeiramente menor que \omega_{0}.

Passo 3

Calcular \omega_{0} e \gamma com os números do enunciado, passo a passo.
Calculemos primeiro \omega_{0}:
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{50}{0{,}5}}=\sqrt{100}=10\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
Agora \gamma:
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0{,}2}{2\cdot 0{,}5}=\frac{0{,}2}{1}=0{,}2\\ \mathrm{s}^{-1}.
Verificação do regime (para garantir que a fórmula para \omega' vale):
\gamma=0{,}2<\omega_{0}=10,
logo o sistema é subamortecido (under-damped) e oscila com frequência \omega' dada pela fórmula acima.

Passo 4

Calcular \omega' substituindo os valores e fazer a conta com cuidado (sem pular etapas).
Escrevendo a fórmula:
\omega'=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Calcular os quadrados:
\omega_{0}^{2}=10^{2}=100, \qquad \gamma^{2}=(0{,}2)^{2}=0{,}04.
Subtrair:
\omega'=\sqrt{100-0{,}04}=\sqrt{99{,}96}.
Aproximação manual controlada: note que
\sqrt{99{,}96}=10\sqrt{0{,}9996}.
Para números muito próximos de 1 podemos usar \sqrt{1+\varepsilon}\approx 1+\varepsilon/2. Aqui \varepsilon=-0{,}0004, então \sqrt{0{,}9996}\approx 1-0{,}0002=0{,}9998. Portanto
\omega'\approx 10\times 0{,}9998=9{,}998\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.

Passo 5

Interpretação final e checagem com as alternativas.
  • O valor calculado é \omega'\approx 9{,}998\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}.
  • Comparando com as alternativas oferecidas, a que coincide é a letra (a).

Resposta

a) \approx 9{,}998\\ \mathrm{rad}/\mathrm{s}

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