(Função Afim) Um sensor de vazão em um sistema de automação industrial apresenta uma resposta linear. Sabe-se que o gráfico dessa função passa pelos pontos
e
, onde
é a corrente de entrada e
é a tensão de saída.
(a) Determine a lei de formação da função
.
(b) Determine a raiz da função e interprete o que ela representa graficamente.
(a) Determine a lei de formação da função
(b) Determine a raiz da função e interprete o que ela representa graficamente.
Passo 1
O enunciado dá duas informações claras:
- Dois pontos pelos quais passa o gráfico da função linear:
e . Estes valores foram retirados do enunciado. - A variável
representa a corrente de entrada (unidade: corrente) e representa a tensão de saída (unidade: tensão).
O que o problema pede:
(a) Determinar a lei de formação da função (ou seja, encontrar a fórmula que dá a tensão em função da corrente).
(b) Determinar a raiz da função e interpretar graficamente o que essa raiz representa.
(a) Determinar a lei de formação da função
(b) Determinar a raiz da função e interpretar graficamente o que essa raiz representa.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar o que é uma função afim (linha reta) e suas partes importantes, com calma e sem pânico.
Definição e notação:
- Uma função afim tem a forma geral
onde:
-
é o coeficiente angular (a inclinação da reta, chamado também de “declive” ou “slope”), que indica quanto muda quando aumenta uma unidade. -
é o coeficiente linear (ou ordenada na origem), que é o valor de quando .
Como achar
e
a partir de dois pontos
e
:
- O coeficiente angular
é dado por
porque é a “variação vertical” dividida pela “variação horizontal” entre os dois pontos.
- Depois de achar
, usa-se qualquer ponto para achar através de
ou, se um dos pontos for
, então
imediatamente (pois
).
Vamos aplicar essas fórmulas aos pontos dados.
Passo 3
Calcular o coeficiente angular
usando os pontos
e
.
Aqui
e
. Substituindo na fórmula:
Portanto o coeficiente angular é
. Interpretação prática: quando a corrente de entrada
aumenta de
unidade, a tensão de saída
aumenta em
unidades.
Passo 4
Determinar o coeficiente linear
.
Como um dos pontos é
, sabemos imediatamente que
. Ou seja:
(Se não tivéssemos o ponto com
poderíamos usar
; aqui daria
, mesmo resultado.)
Passo 5
Escrever a lei de formação da função com os valores encontrados.
Substituindo
e
em
, obtemos:
Verificação rápida com o outro ponto: para
,
que coincide com o ponto
. Tudo certo.
Passo 6
Encontrar a raiz da função (o valor de
tal que
), e mostrar o passo a passo algébrico.
Resolver:
Isolar
:
Logo a raiz é
.
Passo 7
Interpretação gráfica e física da raiz (explicação didática e concreta, sem jargões).
- Geometricamente: a raiz é o ponto onde a reta cruza o eixo
(o eixo das correntes). Ou seja, é a abscissa do ponto de interseção entre o gráfico de e o eixo das abscissas. - Fisicamente, no contexto do sensor:
é o valor da corrente de entrada que faria a tensão de saída ser zero (pois ). Na prática isso significa que, se fosse possível aplicar uma corrente de (unidades de corrente usadas no problema), a saída do sensor seria volts (ou unidade de tensão usada). - Observação importante: sensores costumam operar em uma faixa de correntes não-negativas; a raiz negativa indica um deslocamento (offset) na reta: mesmo com corrente
o sensor já dá de tensão. Portanto a raiz negativa pode estar fora da faixa de operação real do sensor — é um valor matemático que descreve a reta estendida além da faixa física.
Passo 8
Dica rápida para a prova (motivação amigável): se um dos pontos tiver
, aproveite — isso dá
na hora. Para achar
sempre use a fórmula da variação
. Respira fundo: aqui deu rápido porque um ponto era a ordenada na origem.
Resposta
(a)
(b) raiz: . Interpretação: é o valor da corrente para o qual a tensão de saída é zero; geometricamente é a abscissa onde a reta cruza o eixo
.
(b) raiz: