(Função Afim) Um sensor de vazão em um sistema de automação industrial apresenta uma resposta linear. Sabe-se que o gráfico dessa função passa pelos pontos (0,5) e (2,9), onde x é a corrente de entrada e f(x) é a tensão de saída.
(a) Determine a lei de formação da função f(x).
(b) Determine a raiz da função e interprete o que ela representa graficamente.

Passo 1

O enunciado dá duas informações claras:
  • Dois pontos pelos quais passa o gráfico da função linear: (0,5) e (2,9). Estes valores foram retirados do enunciado.
  • A variável x representa a corrente de entrada (unidade: corrente) e f(x) representa a tensão de saída (unidade: tensão).
O que o problema pede:
(a) Determinar a lei de formação da função f(x) (ou seja, encontrar a fórmula que dá a tensão em função da corrente).
(b) Determinar a raiz da função e interpretar graficamente o que essa raiz representa.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar o que é uma função afim (linha reta) e suas partes importantes, com calma e sem pânico.
Definição e notação:
  • Uma função afim tem a forma geral f(x)=ax+b,
onde:
  • a é o coeficiente angular (a inclinação da reta, chamado também de “declive” ou “slope”), que indica quanto f(x) muda quando x aumenta uma unidade.
  • b é o coeficiente linear (ou ordenada na origem), que é o valor de f(x) quando x=0.
Como achar a e b a partir de dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
  • O coeficiente angular a é dado por
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},
porque é a “variação vertical” dividida pela “variação horizontal” entre os dois pontos.
  • Depois de achar a, usa-se qualquer ponto para achar b através de
b=y_1-a x_1
ou, se um dos pontos for (0,y), então b=y imediatamente (pois f(0)=b).
Vamos aplicar essas fórmulas aos pontos dados.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular a usando os pontos (0,5) e (2,9).
Aqui x_1=0,\;y_1=5 e x_2=2,\;y_2=9. Substituindo na fórmula:
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{9-5}{2-0}=\frac{4}{2}=2.
Portanto o coeficiente angular é a=2. Interpretação prática: quando a corrente de entrada x aumenta de 1 unidade, a tensão de saída f(x) aumenta em 2 unidades.

Passo 4

Determinar o coeficiente linear b.
Como um dos pontos é (0,5), sabemos imediatamente que f(0)=b=5. Ou seja:
b=5.
(Se não tivéssemos o ponto com x=0 poderíamos usar b=y_1-a x_1; aqui daria b=5-2\cdot0=5, mesmo resultado.)

Passo 5

Escrever a lei de formação da função com os valores encontrados.
Substituindo a=2 e b=5 em \,f(x)=ax+b\,, obtemos:
f(x)=2x+5.
Verificação rápida com o outro ponto: para x=2,
f(2)=2\cdot2+5=4+5=9,
que coincide com o ponto (2,9). Tudo certo.

Passo 6

Encontrar a raiz da função (o valor de x tal que f(x)=0), e mostrar o passo a passo algébrico.
Resolver:
f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 2x+5=0.
Isolar x:
2x=-5 \quad\Longrightarrow\quad x=-\dfrac{5}{2}.
Logo a raiz é x=-\dfrac{5}{2}=-2{,}5.

Passo 7

Interpretação gráfica e física da raiz (explicação didática e concreta, sem jargões).
  • Geometricamente: a raiz é o ponto onde a reta cruza o eixo x (o eixo das correntes). Ou seja, é a abscissa do ponto de interseção entre o gráfico de f(x) e o eixo das abscissas.
  • Fisicamente, no contexto do sensor: x=-2{,}5 é o valor da corrente de entrada que faria a tensão de saída ser zero (pois f(-2{,}5)=0). Na prática isso significa que, se fosse possível aplicar uma corrente de -2{,}5 (unidades de corrente usadas no problema), a saída do sensor seria 0 volts (ou unidade de tensão usada).
  • Observação importante: sensores costumam operar em uma faixa de correntes não-negativas; a raiz negativa indica um deslocamento (offset) na reta: mesmo com corrente x=0 o sensor já dá f(0)=5 de tensão. Portanto a raiz negativa pode estar fora da faixa de operação real do sensor — é um valor matemático que descreve a reta estendida além da faixa física.

Passo 8

Dica rápida para a prova (motivação amigável): se um dos pontos tiver x=0, aproveite — isso dá b na hora. Para achar a sempre use a fórmula da variação \dfrac{\Delta y}{\Delta x}. Respira fundo: aqui deu rápido porque um ponto era a ordenada na origem.

Resposta

(a) f(x)=2x+5
(b) raiz: x=-\dfrac{5}{2}. Interpretação: é o valor da corrente para o qual a tensão de saída é zero; geometricamente é a abscissa onde a reta cruza o eixo x.

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