Domínio Composto: Determine o domínio da função f(x)=\sqrt{\log _{10}(x)}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o domínio da função f(x)=\sqrt{\log_{10}(x)}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função contém uma raiz quadrada: isso exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
  • A função contém um logaritmo \log_{10}(x): isso exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo, ou seja x>0.

Passo 2

Vou lembrar duas propriedades importantes que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
  • Definição de logaritmo: dizer que \log_{10}(x)=y é equivalente a dizer que 10^{y}=x. Ou seja, o logaritmo é o expoente que leva 10 até x.
  • Monotonicidade do logaritmo com base maior que 1: a função y=\log_{10}(x) é crescente quando a base é 10>1. Isso significa que, ao resolver desigualdades envolvendo \log_{10}, pode-se aplicar a função exponencial 10^{(\cdot)} sem inverter o sinal da desigualdade.

Passo 3

Impondo as condições de existência da função: o radicando deve ser não negativo. Logo precisamos de
\log_{10}(x)\ge 0.
Usando a definição do logaritmo e a monotonicidade (aplicando 10^{(\cdot)} em ambos os lados), isso é equivalente a
x \ge 10^{0}.

Passo 4

Como 10^{0}=1, a desigualdade ficou
x \ge 1.
Também havia a condição de que o argumento do logaritmo fosse positivo ( x>0), mas ela já está satisfeita por x\ge 1. Verificação de borda: para x=1 tem-se \log_{10}(1)=0 e \sqrt{0}=0, que é válido. Para 0<x<1 a expressão \log_{10}(x) é negativa, e a raiz quadrada de número negativo não é real, portanto esses x não pertencem ao domínio. Exemplos rápidos: x=10 funciona ( \log_{10}(10)=1, \sqrt{1}=1); x=0,1 não funciona porque \log_{10}(0,1)=-1 e a raiz de número negativo não é real.

Resposta

[1,\infty)

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