Domínio Composto: Determine o domínio da função
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar o domínio da função
.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função contém uma raiz quadrada: isso exige que o radicando seja maior ou igual a zero.
- A função contém um logaritmo
: isso exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo, ou seja .
Passo 2
Vou lembrar duas propriedades importantes que vamos usar (explicadas de forma bem direta):
- Definição de logaritmo: dizer que
é equivalente a dizer que . Ou seja, o logaritmo é o expoente que leva até . - Monotonicidade do logaritmo com base maior que 1: a função
é crescente quando a base é . Isso significa que, ao resolver desigualdades envolvendo , pode-se aplicar a função exponencial sem inverter o sinal da desigualdade.
Passo 3
Impondo as condições de existência da função: o radicando deve ser não negativo. Logo precisamos de
Usando a definição do logaritmo e a monotonicidade (aplicando
em ambos os lados), isso é equivalente a
Passo 4
Como
, a desigualdade ficou
Também havia a condição de que o argumento do logaritmo fosse positivo (
), mas ela já está satisfeita por
. Verificação de borda: para
tem-se
e
, que é válido. Para
a expressão
é negativa, e a raiz quadrada de número negativo não é real, portanto esses
não pertencem ao domínio. Exemplos rápidos:
funciona (
,
);
não funciona porque
e a raiz de número negativo não é real.