A função característica de um conjunto
Prove que
;
Passo 1
O enunciado define a função característica de um conjunto
E pede para provar que, para quaisquer conjuntos
, vale
O conteúdo aqui é análise pontual de cada valor
e uso da definição por casos.
Passo 2
Duas funções são iguais se, e somente se, elas coincidem em cada
do domínio. Assim, basta fixar um
arbitrário e mostrar que, ao avaliar ambos os lados na mesma
, obtemos sempre o mesmo resultado (0 ou 1).
Passo 3
Analisamos as quatro possibilidades sobre a posição de
em
e em
:
Caso 1:
e
.
Então e
. Logo
Então
Como
, também
. Os dois lados coincidem.
Caso 2:
e
.
Então e
. Logo
Então
Aqui
, então
. Os dois lados coincidem.
Caso 3:
e
.
Então e
. Logo
Então
Como
,
. Coincidência também.
Caso 4:
e
.
Então e
. Logo
Então
E como
, temos
. Novamente, os dois lados são iguais.
Passo 4
Em cada caso, constatamos
Como
era arbitrário, a igualdade vale para todo
, logo as funções são iguais ponto a ponto.