A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que
\chi_{A \cap B}=\chi_{A} \cdot \chi_{B}, mais geralmente, \chi_{\cap_{j=1}^{n} A_{j}}=\prod_{j=1}^{n} \chi_{A_{j}};

Passo 1

O enunciado define a função característica de um conjunto A\) por \[\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Queremos mostrar primeiro que
\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)
para todo (x], e em seguida concluir que
\chi_{\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}}(x)=\prod_{j=1}^{n}\chi_{A_{j}}(x).

Passo 2

Prova do caso A\cap B\) por análise de casos em \(x\): - Se \(x\in A\cap B\), então \(x\in A\) e \(x\in B\). Logo \(\chi_{A}(x)=1\) e \(\chi_{B}(x)=1\), o que dá \[\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)=1\cdot1=1 \quad\text{e}\quad \chi_{A\cap B}(x)=1.
  • Se x\notin A\cap B, então x\notin A ou x\notin B. Em qualquer um dos casos, pelo menos uma das funções características vale zero, isto é, \chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)=0. E como x\notin A\cap B temos \chi_{A\cap B}(x)=0.
    Em resumo,
\chi_{A\cap B}(x)= \begin{cases} 1,&\chi_A(x)=\chi_B(x)=1,\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
que coincide exatamente com (\chi_A(x)\chi_B(x)].

Passo 3

Generalização para n conjuntos por indução em n:
  • Base n=2: acabamos de mostrar que \chi_{A_{1}\cap A_{2}}=\chi_{A_{1}}\chi_{A_{2}}.
  • Passo indutivo: suponha que para n-1 conjuntos já valha
\chi_{\bigcap_{j=1}^{n-1}A_{j}} =\prod_{j=1}^{n-1}\chi_{A_{j}}.
Então, para n conjuntos escrevemos
\bigcap_{j=1}^{n}A_{j} =\Bigl(\bigcap_{j=1}^{n-1}A_{j}\Bigr)\cap A_{n}
e aplicamos o caso já provado para dois conjuntos:
\chi_{\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}} =\chi_{\;\bigl(\bigcap_{j=1}^{n-1}A_{j}\bigr)\cap A_{n}\!} =\chi_{\bigcap_{j=1}^{n-1}A_{j}}\;\chi_{A_{n}} =\Bigl(\prod_{j=1}^{n-1}\chi_{A_{j}}\Bigr)\chi_{A_{n}} =\prod_{j=1}^{n}\chi_{A_{j}}.
Isso encerra a indução e a prova da fórmula geral.

Resposta

\chi_{A\cap B}=\chi_{A}\cdot\chi_{B} e, de modo geral,
\chi_{\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}} =\prod_{j=1}^{n}\chi_{A_{j}}.

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