A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que \chi_{A \cap B}=\chi_{A} \cdot \chi_{B}, mais geralmente, \chi_{\cap_{j=1}^{n} A_{j}}=\prod_{j=1}^{n} \chi_{A_{j}};
Passo 1
O enunciado define a função característica de um conjunto A\) por
\[\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Queremos mostrar primeiro que
\chi_{A\cap B}(x)=\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)
para todo (x], e em seguida concluir que \chi_{\bigcap_{j=1}^{n}A_{j}}(x)=\prod_{j=1}^{n}\chi_{A_{j}}(x).
Passo 2
Prova do caso A\cap B\) por análise de casos em \(x\):
- Se \(x\in A\cap B\), então \(x\in A\) e \(x\in B\). Logo
\(\chi_{A}(x)=1\) e \(\chi_{B}(x)=1\), o que dá
\[\chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)=1\cdot1=1 \quad\text{e}\quad \chi_{A\cap B}(x)=1.
Se x\notin A\cap B, então x\notin A ou x\notin B. Em qualquer um dos casos, pelo menos uma das funções características vale zero, isto é, \chi_{A}(x)\,\chi_{B}(x)=0. E como x\notin A\cap B temos \chi_{A\cap B}(x)=0.
Em resumo,