A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que
\chi_{A \Delta B}=\chi_{A}+\chi_{B}-2 \chi_{A} \chi_{B}=\left|\chi_{A}-\chi_{B}\right|;

Passo 1

O enunciado pede para provar, para conjuntos A e B, que a função característica do seu diferênça simétrica satisfaz
\chi_{A \Delta B} \;=\;\chi_{A}+\chi_{B}-2\,\chi_{A}\,\chi_{B} \;=\;\bigl|\chi_{A}-\chi_{B}\bigr|.
O conteúdo é teoria de conjuntos e manipulação de funções características, que só assumem os valores 0 ou 1.

Passo 2

Lembrando que
x\in A\Delta B \quad\Longleftrightarrow\quad \bigl(x\in A \text{ e }x\notin B\bigr)\;\text{ou}\;\bigl(x\notin A \text{ e }x\in B\bigr),
vemos que \chi_{A\Delta B}(x)=1 exatamente quando \chi_A(x)\neq\chi_B(x). Mas isso significa
\chi_{A\Delta B}(x) =\bigl|\chi_A(x)-\chi_B(x)\bigr|.

Passo 3

Basta agora usar a propriedade de variáveis binárias a,b\in\{0,1\}:
|a-b| =a+b-2ab.
Isso pode ser conferido avaliando os quatro casos possíveis:
  • Se (a,b)=(0,0) então |a-b|=0 e a+b-2ab=0.
  • Se (a,b)=(1,0) então |a-b|=1 e a+b-2ab=1.
  • Se (a,b)=(0,1) então |a-b|=1 e a+b-2ab=1.
  • Se (a,b)=(1,1) então |a-b|=0 e a+b-2ab=0.
Aplicando com a=\chi_A(x) e b=\chi_B(x) obtemos
\bigl|\chi_A(x)-\chi_B(x)\bigr| =\chi_A(x)+\chi_B(x)-2\,\chi_A(x)\,\chi_B(x).

Resposta

\chi_{A \Delta B} =\chi_{A}+\chi_{B}-2\,\chi_{A}\chi_{B} =\bigl|\chi_{A}-\chi_{B}\bigr|.

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