A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que
\chi_{(A-B)}=\chi_{A}\left(1-\chi_{B}\right).

Passo 1

O enunciado define a função característica de um conjunto A\) por \[\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
E pede para provar que
\chi_{(A-B)}(x)=\chi_{A}(x)\,\bigl(1-\chi_{B}(x)\bigr).
Vamos usar as propriedades elementares de conjuntos (diferença como interseção com complemento) e de funções características (interseção vira produto, complemento vira (1-\chi]).

Passo 2

Note que por definição de diferença de conjuntos
A - B = A \cap B^{c}.
Logo, para todo x,
\chi_{(A-B)}(x)=\chi_{A\cap B^{c}}(x).

Passo 3

Usamos agora a propriedade de indicadores em interseção:
\chi_{E\cap F}(x)=\chi_{E}(x)\,\chi_{F}(x).
Aplicando a E=A e F=B^{c}, obtemos
\chi_{A\cap B^{c}}(x)=\chi_{A}(x)\,\chi_{B^{c}}(x).

Passo 4

Falta expressar \chi_{B^{c}}(x). Pela definição de complemento,
\chi_{B^{c}}(x)= \begin{cases} 1,&x\notin B,\\\\ 0,&x\in B, \end{cases}
o que é exatamente
\chi_{B^{c}}(x)=1-\chi_{B}(x).

Passo 5

Juntando os resultados dos passos 2, 3 e 4, para todo x temos
\chi_{(A-B)}(x) =\chi_{A\cap B^{c}}(x) =\chi_{A}(x)\,\chi_{B^{c}}(x) =\chi_{A}(x)\,\bigl(1-\chi_{B}(x)\bigr).

Resposta

\chi_{(A-B)}=\chi_{A}\,\bigl(1-\chi_{B}\bigr).

Exercícios relacionados