A função característica de um conjunto A\) é definida por \(\chi_{A}(x)= \begin{cases}1, & \text { se } x \in A, \\\\ 0, & \text { se } x \notin A .\end{cases}
Prove que \chi_{(A-B)}=\chi_{A}\left(1-\chi_{B}\right).
Passo 1
O enunciado define a função característica de um conjunto A\) por
\[\chi_{A}(x)= \begin{cases} 1,&\text{se }x\in A,\\\\ 0,&\text{se }x\notin A. \end{cases}
Vamos usar as propriedades elementares de conjuntos (diferença como interseção com complemento) e de funções características (interseção vira produto, complemento vira (1-\chi]).
Passo 2
Note que por definição de diferença de conjuntos
A - B = A \cap B^{c}.
Logo, para todo x,
\chi_{(A-B)}(x)=\chi_{A\cap B^{c}}(x).
Passo 3
Usamos agora a propriedade de indicadores em interseção: