(Função de distribuição condicional para X discreta) Seja Y uma variável aleatória e seja X variável aleatória discreta assumindo os valores x_{1}, \ldots, x_{n}. Usando o resultado do exercício anterior mostre que a função de distribuição F_{Y} de Y é
F_{Y}(y)=\sum_{i=1}^{n} P\left(Y \leq y \mid X=x_{i}\right) P\left(X=x_{i}\right)
OBS: para cada x_{i} fixo, a função P\left(Y \leq y \mid X=x_{i}\right) é chamada função de distribuição condicional de Y dado que X=x_{i}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para uma v.a. discreta X que assume valores \{x_{1},\dots,x_{n}\} e para qualquer y, vale
F_{Y}(y)=P(Y\le y)=\sum_{i=1}^{n}P\bigl(Y\le y\mid X=x_{i}\bigr)\,P\bigl(X=x_{i}\bigr).
O conteúdo central aqui é usar a partição do espaço amostral dada pelos eventos \{X=x_{i}\} e aplicar a lei da probabilidade total junto com a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Note que o evento \{Y\le y\} pode ser decomposto como a união disjunta
\{Y\le y\} =\bigcup_{i=1}^{n}\bigl(\{Y\le y\}\cap\{X=x_{i}\}\bigr),
pois exatamente um dos eventos \{X=x_{i}\} ocorre.

Passo 3

Como essa união é disjunta, pela aditividade das probabilidades temos
P(Y\le y) =\sum_{i=1}^{n}P\bigl(Y\le y \text{ e } X=x_{i}\bigr).

Passo 4

Agora usamos a definição de probabilidade condicional:
P\bigl(Y\le y \text{ e } X=x_{i}\bigr) =P\bigl(Y\le y\mid X=x_{i}\bigr)\,P\bigl(X=x_{i}\bigr).
Substituindo na soma do passo anterior, obtenho exatamente
P(Y\le y) =\sum_{i=1}^{n}P\bigl(Y\le y\mid X=x_{i}\bigr)\,P\bigl(X=x_{i}\bigr).

Resposta

F_{Y}(y) =\sum_{i=1}^{n}P\bigl(Y\le y\mid X=x_{i}\bigr)\,P\bigl(X=x_{i}\bigr).

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