(Teorema da Probabilidade Total): Sejam
eventos aleatórios em um mesmo espaço de probabilidade (
) tal que
é partição de
. Demonstre o teorema da probabilidade total:
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é uma partição de
(isto é, os eventos são mutuamente exclusivos e sua união cobre
), então para qualquer evento
vale
Vamos usar a aditividade finita de
e a definição de probabilidade condicional.
Passo 2
Como
particiona
, temos
e essas interseções são disjuntas. Pela aditividade finita de
,
Passo 3
Pela definição de probabilidade condicional, sempre que
,
Passo 4
Substituindo
na soma do Passo 2, obtemos
que é exatamente o enunciado do Teorema da Probabilidade Total.