(Teorema da Probabilidade Total): Sejam A, B_{1}, \ldots, B_{n} eventos aleatórios em um mesmo espaço de probabilidade ( \Omega, \mathcal{A}, P ) tal que B_{1}, \ldots, B_{n} é partição de \Omega. Demonstre o teorema da probabilidade total:
P(A)=\sum_{i=1}^{n} P\left(A \mid B_{i}\right) P\left(B_{i}\right)

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se \{B_{1},\dots,B_{n}\} é uma partição de \Omega (isto é, os eventos são mutuamente exclusivos e sua união cobre \Omega), então para qualquer evento A vale
P(A)=\sum_{i=1}^{n}P\bigl(A\mid B_{i}\bigr)\,P(B_{i}).
Vamos usar a aditividade finita de P e a definição de probabilidade condicional.

Passo 2

Como \{B_{i}\} particiona \Omega, temos
A \;=\;\bigcup_{i=1}^{n}\bigl(A\cap B_{i}\bigr)
e essas interseções são disjuntas. Pela aditividade finita de P,
P(A) =\sum_{i=1}^{n}P\bigl(A\cap B_{i}\bigr).

Passo 3

Pela definição de probabilidade condicional, sempre que P(B_{i})>0,
P\bigl(A\mid B_{i}\bigr) =\frac{P\bigl(A\cap B_{i}\bigr)}{P(B_{i})} \quad\Longrightarrow\quad P\bigl(A\cap B_{i}\bigr) =P\bigl(A\mid B_{i}\bigr)\,P(B_{i}).

Passo 4

Substituindo P(A\cap B_{i}) na soma do Passo 2, obtemos
P(A) =\sum_{i=1}^{n}P\bigl(A\mid B_{i}\bigr)\,P(B_{i}),
que é exatamente o enunciado do Teorema da Probabilidade Total.

Resposta

P(A)=\sum_{i=1}^{n}P\bigl(A\mid B_{i}\bigr)\,P(B_{i}).

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