A função energia potencial de uma partícula é dada por
onde
e b são constantes positivas. Em que posição a partícula está em equilíbrio. Identifique o(s) ponto(s) como o(s) ponto(s) de equilíbrio estável/instável.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma função de energia potencial $ U = -b\left(\frac{1}{a} + x + \frac{1}{a - x}\right) $, onde $ a $ e $ b $ são constantes positivas. A tarefa é encontrar a posição onde a partícula está em equilíbrio e também identificar se esse ponto de equilíbrio é estável ou instável. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para encontrar os pontos de equilíbrio e analisar sua estabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa estar em equilíbrio. Uma partícula está em equilíbrio quando a força resultante sobre ela é zero, ou seja, quando a derivada da energia potencial em relação à posição $ x $ é igual a zero. Matematicamente, isso é representado por:
Então, nosso primeiro passo é calcular a derivada de $ U $ em relação a $ x $ e igualar a zero para encontrar as posições de equilíbrio.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ U $ em relação a $ x $:
Derivando termo a termo:
A derivada de $ \frac{1}{a - x} $ é $ \frac{1}{(a - x)^2} $, multiplicada pelo coeficiente de $ x $ dentro do denominador, que é -1. Então:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar as posições de equilíbrio:
Dividindo ambos os lados por $ -b $ (que é diferente de zero):
Isso simplifica para:
Tomando o inverso de ambos os lados:
Passo 5
Vamos resolver a equação $ (a - x)^2 = 1 $:
Isso nos dá duas soluções para $ x $:
Então, as posições de equilíbrio são $ x = a - 1 $ e $ x = a + 1 $.
Passo 6
Agora que encontramos as posições de equilíbrio, precisamos determinar se cada uma delas é estável ou instável. Para isso, vamos usar a segunda derivada da energia potencial em relação a $ x $. Se a segunda derivada for positiva no ponto de equilíbrio, ele é estável; se for negativa, é instável.
Vamos calcular $ \frac{d2U}{dx2} $:
Derivando novamente:
A derivada de $ \frac{1}{(a - x)^2} $ é $ \frac{2}{(a - x)^3} $, então:
Passo 7
Vamos avaliar a segunda derivada nos pontos de equilíbrio encontrados.
- Para $ x = a - 1 $:
Como a segunda derivada é positiva, $ x = a - 1 $ é um ponto de equilíbrio estável.
- Para $ x = a + 1 $:
Como a segunda derivada é negativa, $ x = a + 1 $ é um ponto de equilíbrio instável.
Resposta
A partícula está em equilíbrio nas posições $ x = a - 1 $ (estável) e $ x = a + 1 $ (instável).