A função
é derivável em
? Use a definição de derivada (limite do quociente) e raciocínio gráfico para justificar sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pergunta se
é derivável em
. Informação importante fornecida:
- A função é exatamente
para todo .
A pergunta é única e clara: determinar se existeusando a definição de derivada (limite do quociente) e também justificar graficamente.
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada no ponto
usando linguagem bem direta. A derivada de
em
, se existir, é o limite
Explicando: esse quociente
é a inclinação da reta secante que passa por
e
. Se as inclinações das secantes quando
tende a
por ambos os lados convergirem para o mesmo número, esse número é a inclinação da reta tangente em
e então
é derivável em
. Se os limites laterais (quando
e quando
) forem diferentes, o limite total não existe e
não é derivável em
.
Passo 3
Aplicar a definição ao caso
. Primeiro calcule
:
O quociente da definição fica
Portanto
se esse limite existir.
Passo 4
Calcular o limite pela direita (
). Se
então
. Logo, para
Assim
Passo 5
Calcular o limite pela esquerda (
). Se
então
. Logo, para
Assim
Passo 6
Comparando os dois limites laterais vemos que
que são números diferentes. Como os limites laterais não coincidem, o limite
não existe. Pelo critério da definição, isso significa que
não existe; ou seja,
não é derivável em
.
Passo 7
Raciocínio gráfico (intuição que ajuda na prova): o gráfico de
é um “V” com vértice em
. À direita de
a função é a reta
com inclinação
; à esquerda de
a função é a reta
com inclinação
. Como as inclinações das retas que se aproximam do vértice pela direita e pela esquerda são diferentes, não existe uma única reta tangente no vértice — há um canto (cusp) — e por isso
não é derivável em
.
Resposta
Não.
não é derivável em
porque
.