A função f(x)=|x| é derivável em x=0 ? Use a definição de derivada (limite do quociente) e raciocínio gráfico para justificar sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por f(x)=|x| e pergunta se f é derivável em x=0. Informação importante fornecida:
  • A função é exatamente f(x)=|x| para todo x\in\mathbb{R}.
    A pergunta é única e clara: determinar se existe f'(0) usando a definição de derivada (limite do quociente) e também justificar graficamente.

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada no ponto x=0 usando linguagem bem direta. A derivada de f em 0, se existir, é o limite
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}.
Explicando: esse quociente \dfrac{f(0+h)-f(0)}{h} é a inclinação da reta secante que passa por (0,f(0)) e (h,f(h)). Se as inclinações das secantes quando h tende a 0 por ambos os lados convergirem para o mesmo número, esse número é a inclinação da reta tangente em x=0 e então f é derivável em 0. Se os limites laterais (quando h\to0^+ e quando h\to0^-) forem diferentes, o limite total não existe e f não é derivável em 0.

Passo 3

Aplicar a definição ao caso f(x)=|x|. Primeiro calcule f(0):
f(0)=|0|=0.
O quociente da definição fica
\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}.
Portanto
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{|h|}{h},
se esse limite existir.

Passo 4

Calcular o limite pela direita ( h\to0^+). Se h>0 então |h|=h. Logo, para h>0
\frac{|h|}{h}=\frac{h}{h}=1.
Assim
\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1.

Passo 5

Calcular o limite pela esquerda ( h\to0^-). Se h<0 então |h|=-h. Logo, para h<0
\frac{|h|}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Assim
\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1.

Passo 6

Comparando os dois limites laterais vemos que
\lim_{h\to0^+}\frac{|h|}{h}=1\quad\text{e}\quad\lim_{h\to0^-}\frac{|h|}{h}=-1,
que são números diferentes. Como os limites laterais não coincidem, o limite \lim_{h\to0}\dfrac{|h|}{h} não existe. Pelo critério da definição, isso significa que f'(0) não existe; ou seja, f não é derivável em 0.

Passo 7

Raciocínio gráfico (intuição que ajuda na prova): o gráfico de f(x)=|x| é um “V” com vértice em (0,0). À direita de 0 a função é a reta y=x com inclinação 1; à esquerda de 0 a função é a reta y=-x com inclinação -1. Como as inclinações das retas que se aproximam do vértice pela direita e pela esquerda são diferentes, não existe uma única reta tangente no vértice — há um canto (cusp) — e por isso f não é derivável em 0.

Resposta

Não. f não é derivável em 0 porque \lim_{h\to0^+}\dfrac{|h|}{h}=1\neq-1=\lim_{h\to0^-}\dfrac{|h|}{h}.

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