Mostre que, se f e g são funções contínuas em a, então f+g e f \cdot g também são contínuas em a. Comente a importância dessa propriedade.

Passo 1

O enunciado dá que as funções f e g são contínuas em a. O que pede:
  • Mostrar que f+g é contínua em a.
  • Mostrar que f\cdot g é contínua em a.
    Também pede um comentário sobre a importância dessa propriedade.
Informações relevantes fornecidas:
  • f é contínua em a.
  • g é contínua em a.

Passo 2

Lembrando a definição precisa que vamos usar (vareta de prova): dizer que uma função h é contínua em a significa, por definição epsilon-delta, que
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }\delta>0\text{ tal que, se }\lvert x-a\rvert<\delta\text{ então }\lvert h(x)-h(a)\rvert<\varepsilon.ã
Aqui cada símbolo significa:
  • \varepsilon>0: a margem de erro desejada no valor da função.
  • \delta>0: a margem de erro correspondente na variável x.
  • \lvert h(x)-h(a)\rvert: a diferença entre o valor da função em x e em a.
Vou usar essa definição para provar as duas declarações. A ideia geral em provas epsilon-delta é: dado um \varepsilon>0 (o quanto queremos aproximar), construir um \delta>0 a partir das hipóteses de continuidade de f e g.

Passo 3

Prova de que f+g é contínua em a.
Seja \varepsilon>0. Pela continuidade de f em a existe \delta_1>0 tal que, se \lvert x-a\rvert<\delta_1 então
\lvert f(x)-f(a)\rvert<\frac{\varepsilon}{2}.
Pela continuidade de g em a existe \delta_2>0 tal que, se \lvert x-a\rvert<\delta_2 então
\lvert g(x)-g(a)\rvert<\frac{\varepsilon}{2}.
Tome \delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}. Então, se \lvert x-a\rvert<\delta temos simultaneamente as duas desigualdades acima e, usando a desigualdade triangular,
\lvert (f+g)(x)-(f+g)(a)\rvert = \lvert f(x)-f(a)+g(x)-g(a)\rvert \le \lvert f(x)-f(a)\rvert + \lvert g(x)-g(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
Como para todo \varepsilon>0 encontramos um \delta>0 que satisfaz a condição, concluímos que f+g é contínua em a.
Dica prática para prova na hora da prova: para soma é padrão dividir o \varepsilon em duas partes iguais, uma para cada função, e usar o mínimo dos \delta obtidos.

Passo 4

Prova de que f\cdot g é contínua em a.
Queremos mostrar que dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \lvert x-a\rvert<\delta implique \lvert f(x)g(x)-f(a)g(a)\rvert<\varepsilon.
Começamos com a identidade clássica (adicionar e subtrair um termo):
f(x)g(x)-f(a)g(a)=f(x)\bigl(g(x)-g(a)\bigr)+g(a)\bigl(f(x)-f(a)\bigr).
Tomando módulo e usando a desigualdade triangular,
\lvert f(x)g(x)-f(a)g(a)\rvert \le \lvert f(x)\rvert\;\lvert g(x)-g(a)\rvert + \lvert g(a)\rvert\;\lvert f(x)-f(a)\rvert.
Agora precisamos controlar os dois termos do lado direito. A estratégia padrão é:
  1. usar a continuidade de f em a para assegurar que f(x) fica perto de f(a) e, em particular, fica limitada por algum número conveniente próximo de \lvert f(a)\rvert;
  2. escolher tolerâncias para \lvert g(x)-g(a)\rvert e para \lvert f(x)-f(a)\rvert de modo que cada termo seja pequeno.
Detalhando: pela continuidade de f em a existe \delta_1>0 tal que, se \lvert x-a\rvert<\delta_1, então
\lvert f(x)-f(a)\rvert<1.
Isso implica, para tais x,
\lvert f(x)\rvert \le \lvert f(a)\rvert + 1.
Agora dado o \varepsilon>0, escolha números positivos de forma a controlar cada parcela:
  • Pela continuidade de g em a existe \delta_2>0 tal que, se \lvert x-a\rvert<\delta_2, então
\lvert g(x)-g(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2(\lvert f(a)\rvert+1)}.
  • Pela continuidade de f em a existe \delta_3>0 tal que, se \lvert x-a\rvert<\delta_3, então
\lvert f(x)-f(a)\rvert < \frac{\varepsilon}{2(\lvert g(a)\rvert+1)}.
Agora tome
\delta=\min\{\delta_1,\delta_2,\delta_3\}.
Se \lvert x-a\rvert<\delta então todas as desigualdades acima valem, e portanto
\begin{aligned} \lvert f(x)g(x)-f(a)g(a)\rvert &\le \lvert f(x)\rvert\;\lvert g(x)-g(a)\rvert + \lvert g(a)\rvert\;\lvert f(x)-f(a)\rvert\\\ &\le (\lvert f(a)\rvert+1)\cdot\frac{\varepsilon}{2(\lvert f(a)\rvert+1)} + \lvert g(a)\rvert\cdot\frac{\varepsilon}{2(\lvert g(a)\rvert+1)}\\\ &= \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\lvert g(a)\rvert}{\lvert g(a)\rvert+1}\cdot\frac{\varepsilon}{2} < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \end{aligned}
(Observe que \dfrac{\lvert g(a)\rvert}{\lvert g(a)\rvert+1}<1, por isso a segunda parcela é < \varepsilon/2.)
Assim, para o \varepsilon dado construímos \delta tal que se \lvert x-a\rvert<\delta então \lvert f(x)g(x)-f(a)g(a)\rvert<\varepsilon. Logo f\cdot g é contínua em a.
Comentário técnico rápido: em provas, esse controle de \lvert f(x)\rvert por \lvert f(a)\rvert+1 é um truque clássico para evitar assumir que f é globalmente limitada; basta uma pequena vizinhança de a.

Passo 5

Conclusão e comentário sobre importância (mais didático).
Conclusão técnica: se f e g são contínuas em a então f+g e f\cdot g são contínuas em a.
Por que isso é importante (explicação concreta e prática)?
  • Essa propriedade mostra que a classe das funções contínuas é fechada sob operações naturais (adição e multiplicação). Isso permite construir funções mais complexas a partir de funções simples mantendo continuidade. Por exemplo, somas e produtos de polinômios continuam sendo polinômios e, portanto, contínuos; qualquer combinação linear finita de funções contínuas é contínua.
  • Aplicações diretas: teoremas que exigem continuidade (como o Teorema do Valor Intermediário ou o Teorema de Weierstrass sobre máximos e mínimos em intervalos compactos) podem ser aplicados a somas e produtos de funções contínuas sem novo esforço.
  • Na prática de provas e problemas de prova, essa propriedade facilita muito: em vez de reprová-las do zero, pode-se simplesmente dizer “por serem contínuas e por fechamento sob soma/produto, a nova função é contínua”.
  • Exemplos rápidos: se p(x) é polinômio e q(x) é polinômio então p+q, pq e p/q (quando q\neq 0) são contínuos; funções elementares (seno, cosseno, exponencial, polinômios) combinadas por soma e produto continuam sendo contínuas.
Força: agora que dominou esse argumento, na prova, ao ver duas funções contínuas, pode juntar elas sem medo — só precisa controlar pontos onde denominadores anulam, no caso de quocientes.

Resposta

f+g e f\cdot g são contínuas em a.\nImportância: garante que a soma e o produto de funções contínuas permanecem contínuos, permitindo construir funções mais complexas a partir de funções simples e aplicar teoremas que exigem continuidade.

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