Mostre que, se
e
são funções contínuas em
, então
e
também são contínuas em
. Comente a importância dessa propriedade.
Passo 1
O enunciado dá que as funções
e
são contínuas em
. O que pede:
- Mostrar que
é contínua em . - Mostrar que
é contínua em .
Também pede um comentário sobre a importância dessa propriedade.
Informações relevantes fornecidas:
-
é contínua em . -
é contínua em .
Passo 2
Lembrando a definição precisa que vamos usar (vareta de prova): dizer que uma função
é contínua em
significa, por definição epsilon-delta, que
Aqui cada símbolo significa:
-
: a margem de erro desejada no valor da função. -
: a margem de erro correspondente na variável . -
: a diferença entre o valor da função em e em .
Vou usar essa definição para provar as duas declarações. A ideia geral em provas epsilon-delta é: dado um
(o quanto queremos aproximar), construir um
a partir das hipóteses de continuidade de
e
.
Passo 3
Prova de que
é contínua em
.
Seja
. Pela continuidade de
em
existe
tal que, se
então
Pela continuidade de
em
existe
tal que, se
então
Tome
. Então, se
temos simultaneamente as duas desigualdades acima e, usando a desigualdade triangular,
Como para todo
encontramos um
que satisfaz a condição, concluímos que
é contínua em
.
Dica prática para prova na hora da prova: para soma é padrão dividir o
em duas partes iguais, uma para cada função, e usar o mínimo dos
obtidos.
Passo 4
Prova de que
é contínua em
.
Queremos mostrar que dado
existe
tal que
implique
.
Começamos com a identidade clássica (adicionar e subtrair um termo):
Tomando módulo e usando a desigualdade triangular,
Agora precisamos controlar os dois termos do lado direito. A estratégia padrão é:
- usar a continuidade de
em para assegurar que fica perto de e, em particular, fica limitada por algum número conveniente próximo de ; - escolher tolerâncias para
e para de modo que cada termo seja pequeno.
Detalhando: pela continuidade de
em
existe
tal que, se
, então
Isso implica, para tais
,
Agora dado o
, escolha números positivos de forma a controlar cada parcela:
- Pela continuidade de
em existe tal que, se , então
- Pela continuidade de
em existe tal que, se , então
Agora tome
Se
então todas as desigualdades acima valem, e portanto
(Observe que
, por isso a segunda parcela é <
.)
Assim, para o
dado construímos
tal que se
então
. Logo
é contínua em
.
Comentário técnico rápido: em provas, esse controle de
por
é um truque clássico para evitar assumir que
é globalmente limitada; basta uma pequena vizinhança de
.
Passo 5
Conclusão e comentário sobre importância (mais didático).
Conclusão técnica: se
e
são contínuas em
então
e
são contínuas em
.
Por que isso é importante (explicação concreta e prática)?
- Essa propriedade mostra que a classe das funções contínuas é fechada sob operações naturais (adição e multiplicação). Isso permite construir funções mais complexas a partir de funções simples mantendo continuidade. Por exemplo, somas e produtos de polinômios continuam sendo polinômios e, portanto, contínuos; qualquer combinação linear finita de funções contínuas é contínua.
- Aplicações diretas: teoremas que exigem continuidade (como o Teorema do Valor Intermediário ou o Teorema de Weierstrass sobre máximos e mínimos em intervalos compactos) podem ser aplicados a somas e produtos de funções contínuas sem novo esforço.
- Na prática de provas e problemas de prova, essa propriedade facilita muito: em vez de reprová-las do zero, pode-se simplesmente dizer “por serem contínuas e por fechamento sob soma/produto, a nova função é contínua”.
- Exemplos rápidos: se
é polinômio e é polinômio então , e (quando ) são contínuos; funções elementares (seno, cosseno, exponencial, polinômios) combinadas por soma e produto continuam sendo contínuas.
Força: agora que dominou esse argumento, na prova, ao ver duas funções contínuas, pode juntar elas sem medo — só precisa controlar pontos onde denominadores anulam, no caso de quocientes.