(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1} e^{-t} d t, \quad \text { para } p>0
(a) Mostre que \Gamma(p+1)=p \Gamma(p), para p>0.
(b) Mostre que \Gamma(n+1)=n!, para n=1,2,3, \ldots
(c) Seja p>0. Mostre que \mathcal{L}\left(t^{p}\right)(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}, para s>0.
(d) Usando o fato de que \Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}, mostre que \mathcal{L}\left(t^{1 / 2}\right)(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2 s^{3 / 2}}.

Passo 1

O enunciado dá a definição da função gama e pede quatro coisas. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados:
  • A função gama é definida por
\Gamma(p)=\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt,\qquad\text{para }p>0.
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é (lembrar)
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,\qquad\text{para }s>0.
Perguntas:
(a) Mostrar que \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) para p>0.
(b) Mostrar que \Gamma(n+1)=n! para n=1,2,3,\ldots.
(c) Mostrar que, para p>0 e s>0,
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.
(d) Usando \Gamma\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{\pi}, mostrar que
\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

Passo 2

Vamos provar (a). Primeiro relembre a fórmula de integração por partes (uma ferramenta padrão):
se u=u(t) e v=v(t) são funções diferenciáveis, então
\int_{a}^{b} u'(t)\,v(t)\,dt = \bigl[u(t)v(t)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(t)\,v'(t)\,dt.
Também em outra forma usual:
\int_{a}^{b} u(t)\,v'(t)\,dt = \bigl[u(t)v(t)\bigr]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(t)\,v(t)\,dt.
Isto é usado para integrar produtos onde um fator simplifica ao derivar e o outro ao integrar.

Passo 3

Aplique integração por partes na integral que define \Gamma(p+1). Escreva primeiro a própria integral:
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} t^{p} e^{-t}\,dt.
Escolha conveniente para a integração por partes:
  • tome u(t)=t^{p} (assim u'(t)=p\,t^{p-1}),
  • e tome v'(t)=e^{-t} (assim v(t)=-e^{-t}).
Aplicando a fórmula:
\int_{0}^{\infty} t^{p} e^{-t}\,dt = \bigl[-t^{p}e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty} + \int_{0}^{\infty} p\,t^{p-1} e^{-t}\,dt.
Ou seja,
\Gamma(p+1) = \lim_{b\to\infty}\bigl(-b^{p}e^{-b}\bigr) - \bigl(-0^{p}e^{0}\bigr) + p\int_{0}^{\infty} t^{p-1}e^{-t}\,dt.

Passo 4

Agora justifique os termos de fronteira. Precisamos ver que
\lim_{b\to\infty} b^{p} e^{-b} = 0
quando p>0, e também que 0^{p}e^{0}=0 (a segunda é clara: t^{p}\to0 quando t\to0^+ porque p>0 e e^{-t}\to1). A primeira é um fato clássico: a função exponencial e^{b} cresce muito mais rápido do que qualquer potência b^{p}, logo b^{p}/e^{b}\to0. Se quiser, pode aplicar a regra de L’Hospital repetidas vezes para ver que o quociente tende a zero. Assim o termo de fronteira é zero em ambas as extremidades.
Portanto os termos de fronteira somam zero e obtemos
\Gamma(p+1) = p\int_{0}^{\infty} t^{p-1} e^{-t}\,dt = p\,\Gamma(p).
Isto prova (a).

Passo 5

Agora provamos (b). Primeiro calcule a base da recursão: para p=1,
\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty} t^{0} e^{-t}\,dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t}\,dt = \bigl[-e^{-t}\bigr]_{0}^{\infty}=1.
Usando a relação de recorrência de (a), para inteiro positivo n aplicamos repetidamente:
\Gamma(n+1)=n\,\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots = n(n-1)\cdots2\cdot1\cdot\Gamma(1).
Como \Gamma(1)=1, segue
\Gamma(n+1)=n!.
Isso conclui (b).

Passo 6

Passamos a (c). Comece escrevendo a transformada de Laplace da função t^{p}:
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} t^{p}\,dt,\qquad s>0.
A ideia é transformar esta integral numa múltipla da integral que define a gama por mudança de variável.

Passo 7

Faça a substituição de variável adequada: tome u = s t. Então t = u/s e dt = du/s. Quando t varia de 0 a \infty, u também varia de 0 a \infty. Substituindo na integral:
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-u}\,\bigl(\tfrac{u}{s}\bigr)^{p}\,\frac{du}{s}.
Organizando os fatores de s:
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=s^{-p-1}\int_{0}^{\infty} u^{p} e^{-u}\,du.

Passo 8

Reconheça a integral restante como \Gamma(p+1), já que
\Gamma(p+1)=\int_{0}^{\infty} u^{p} e^{-u}\,du.
Logo
\mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}}.
Isso conclui (c). Observação: a hipótese s>0 garante que a mudança de variável é válida e que a integral converge (o fator e^{-s t} garante decaimento exponencial).

Passo 9

Finalmente (d). Use (c) com p=\tfrac{1}{2}. Então
\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\frac{\Gamma(1/2+1)}{s^{1/2+1}}=\frac{\Gamma(3/2)}{s^{3/2}}.
Pelo item (a) com p=\tfrac{1}{2},
\Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\,\Gamma\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr).
Como é dado que \Gamma\!\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\sqrt{\pi}, obtemos
\Gamma\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}.
Portanto
\mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\frac{\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi}}{s^{3/2}}=\frac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.
Isso conclui (d).

Resposta

(a) \Gamma(p+1)=p\,\Gamma(p) para p>0.
(b) \Gamma(n+1)=n! para n=1,2,3,\ldots.
(c) \mathcal{L}\{t^{p}\}(s)=\dfrac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} para p>0 e s>0.
(d) \mathcal{L}\{t^{1/2}\}(s)=\dfrac{\sqrt{\pi}}{2\,s^{3/2}}.

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