(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que
, para
.
(b) Mostre que
, para
(c) Seja
. Mostre que
, para
.
(d) Usando o fato de que
, mostre que
.
(b) Mostre que
(c) Seja
(d) Usando o fato de que
Passo 1
O enunciado dá a definição da função gama e pede quatro coisas. Vou listar exatamente o que temos e o que é pedido, sem resolver nada ainda.
Dados:
- A função gama é definida por
- A transformada de Laplace de uma função
é (lembrar)
Perguntas:
(a) Mostrar que para
.
(b) Mostrar que para
.
(c) Mostrar que, para e
,
(a) Mostrar que
(b) Mostrar que
(c) Mostrar que, para
(d) Usando
, mostrar que
Passo 2
Vamos provar (a). Primeiro relembre a fórmula de integração por partes (uma ferramenta padrão):
se e
são funções diferenciáveis, então
se
Também em outra forma usual:
Isto é usado para integrar produtos onde um fator simplifica ao derivar e o outro ao integrar.
Passo 3
Aplique integração por partes na integral que define
. Escreva primeiro a própria integral:
Escolha conveniente para a integração por partes:
- tome
(assim ), - e tome
(assim ).
Aplicando a fórmula:
Ou seja,
Passo 4
Agora justifique os termos de fronteira. Precisamos ver que
quando
, e também que
(a segunda é clara:
quando
porque
e
). A primeira é um fato clássico: a função exponencial
cresce muito mais rápido do que qualquer potência
, logo
. Se quiser, pode aplicar a regra de L’Hospital repetidas vezes para ver que o quociente tende a zero. Assim o termo de fronteira é zero em ambas as extremidades.
Portanto os termos de fronteira somam zero e obtemos
Isto prova (a).
Passo 5
Agora provamos (b). Primeiro calcule a base da recursão: para
,
Usando a relação de recorrência de (a), para inteiro positivo
aplicamos repetidamente:
Como
, segue
Isso conclui (b).
Passo 6
Passamos a (c). Comece escrevendo a transformada de Laplace da função
:
A ideia é transformar esta integral numa múltipla da integral que define a gama por mudança de variável.
Passo 7
Faça a substituição de variável adequada: tome
. Então
e
. Quando
varia de
a
,
também varia de
a
. Substituindo na integral:
Organizando os fatores de
:
Passo 8
Reconheça a integral restante como
, já que
Logo
Isso conclui (c). Observação: a hipótese
garante que a mudança de variável é válida e que a integral converge (o fator
garante decaimento exponencial).
Passo 9
Finalmente (d). Use (c) com
. Então
Pelo item (a) com
,
Como é dado que
, obtemos
Portanto
Isso conclui (d).
Resposta
(a)
para
.
(b) para
.
(c) para
e
.
(d) .
(b)
(c)
(d)