Questão. Considere o PVI
y^{\prime}=\frac{2-e^{x}}{3+2 y}, \quad y(0)=0
(1,0 pts) Encontre a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
y'(x)=\frac{2-e^{x}}{3+2y(x)},\qquad y(0)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
  • A derivada de y em relação a x é \dfrac{2-e^{x}}{3+2y}.
  • A condição inicial é y(0)=0.

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
A equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=F(x,y). Se conseguirmos escrever F(x,y) como um produto de uma função de x por uma função de y, podemos separar as variáveis e integrar: isto é a técnica de separação de variáveis.
Aqui \dfrac{2-e^{x}}{3+2y} = \underbrace{(2-e^{x})}_{\text{função só de }x}\cdot\underbrace{\dfrac{1}{3+2y}}_{\text{função só de }y}çãóçãó, então a equação é separável. A ideia é rearranjar para colocar termos com y e dy de um lado e termos com x e dx do outro, e então integrar ambos os lados.
Observação sobre notação: y'(x) ou \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x. Quando escrevemos (3+2y)\,dy entendemos um produto simbólico que aparece ao separar variáveis antes de integrar.

Passo 3

Separar variáveis e integrar passo a passo.
Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{2-e^{x}}{3+2y}.
Multiplicamos ambos os lados por (3+2y)\,dx para separar as variáveis:
(3+2y)\,dy = (2-e^{x})\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar cada integral:
  • No lado esquerdo integramos em relação a y:
    \int (3+2y)\,dy = \int 3\,dy + \int 2y\,dy.
    Aqui \int 3\,dy = 3y porque a integral de uma constante a em y é a y. E \int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}. Logo a primitiva do lado esquerdo é
    y^{2}+3y.
  • No lado direito integramos em relação a x:
    \int (2-e^{x})\,dx = \int 2\,dx - \int e^{x}\,dx.
    Aqui \int 2\,dx = 2x e \int e^{x}\,dx = e^{x}. Portanto a primitiva do lado direito é
    2x - e^{x}.
Ao integrar, devemos acrescentar uma constante de integração C. Igualando as primitivas:
y^{2}+3y = 2x - e^{x} + C.

Passo 4

Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição inicial é y(0)=0. Substituímos x=0 e y=0 na expressão obtida:
0^{2} + 3\cdot 0 = 2\cdot 0 - e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 0 - 1 + C.
Assim C=1. Portanto a solução implícita é
y^{2}+3y = 2x - e^{x} + 1.

Passo 5

Resolver explicitamente para y (resolver a quadrática em y).
A equação obtida é uma equação quadrática em y:
y^{2}+3y -\bigl(2x - e^{x} + 1\bigr)=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=3, c=-(2x-e^{x}+1). A solução é
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui o discriminante vale
\Delta = b^{2}-4ac = 3^{2} - 4\cdot 1 \cdot \bigl(-(2x - e^{x} +1)\bigr) =9 + 4\bigl(2x - e^{x} +1\bigr).
Simplificando:
\Delta = 9 + 8x -4e^{x} +4 = 13 + 8x -4e^{x}.
Portanto as soluções são
y(x)=\frac{-3 \pm \sqrt{13+8x -4e^{x}}}{2}.

Passo 6

Escolher o sinal correto usando a condição inicial e comentar domínio.
Avaliar em x=0: o discriminante é
\Delta(0)=13 + 8\cdot 0 -4e^{0} = 13 -4 = 9,
logo \sqrt{\Delta(0)}=3. As duas raízes em x=0 são
y(0)=\frac{-3 +3}{2}=0 \quad\text{ou}\quad y(0)=\frac{-3 -3}{2}=-3.
Como a condição inicial exige y(0)=0, devemos escolher o sinal + na fórmula. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{-3 + \sqrt{13+8x -4e^{x}}}{2}.
Comentário sobre domínio: a expressão está bem definida enquanto o radicando 13+8x-4e^{x} for não negativo. Pelo teorema de existência e unicidade (não detalhado aqui), perto de x=0 existe e é única solução porque o lado direito da ODE é contínuo e Lipschitz em y numa vizinhança de (0,0) (note que 3+2y\neq 0 em y=0). Portanto a fórmula acima descreve a solução local que passa por (0,0).

Passo 7

Verificação rápida (opcional, só para ter confiança).
A solução foi obtida integrando separadamente e aplicando a condição inicial; se desejado, pode-se derivar implicitamente a relação
y^{2}+3y = 2x - e^{x} +1
para recuperar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-e^{x}}{3+2y}, confirmando que a solução implícita é coerente. A escolha da raiz positiva garante a condição inicial.

Resposta

y(x)=\dfrac{-3 + \sqrt{13+8x -4e^{x}}}{2}

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