O que é pedido: encontrar a função y(x) que satisfaça a equação diferencial e a condição inicial dada.
Informações relevantes fornecidas:
A derivada de y em relação a x é \dfrac{2-e^{x}}{3+2y}.
A condição inicial é y(0)=0.
Passo 2
Escolha do método e ideia básica (explicação didática).
A equação tem a forma \dfrac{dy}{dx}=F(x,y). Se conseguirmos escrever F(x,y) como um produto de uma função de x por uma função de y, podemos separar as variáveis e integrar: isto é a técnica de separação de variáveis.
Aqui \dfrac{2-e^{x}}{3+2y} = \underbrace{(2-e^{x})}_{\text{função só de }x}\cdot\underbrace{\dfrac{1}{3+2y}}_{\text{função só de }y}, então a equação é separável. A ideia é rearranjar para colocar termos com y e dy de um lado e termos com x e dx do outro, e então integrar ambos os lados.
Observação sobre notação: y'(x) ou \dfrac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x. Quando escrevemos (3+2y)\,dy entendemos um produto simbólico que aparece ao separar variáveis antes de integrar.
Passo 3
Separar variáveis e integrar passo a passo.
Partimos de
\frac{dy}{dx}=\frac{2-e^{x}}{3+2y}.
Multiplicamos ambos os lados por (3+2y)\,dx para separar as variáveis:
(3+2y)\,dy = (2-e^{x})\,dx.
Agora integramos ambos os lados. Vou explicar cada integral:
No lado esquerdo integramos em relação a y:
\int (3+2y)\,dy = \int 3\,dy + \int 2y\,dy.
Aqui \int 3\,dy = 3y porque a integral de uma constante a em y é a y. E \int 2y\,dy = 2\cdot\frac{y^{2}}{2}=y^{2}. Logo a primitiva do lado esquerdo é
y^{2}+3y.
No lado direito integramos em relação a x:
\int (2-e^{x})\,dx = \int 2\,dx - \int e^{x}\,dx.
Aqui \int 2\,dx = 2x e \int e^{x}\,dx = e^{x}. Portanto a primitiva do lado direito é
2x - e^{x}.
Ao integrar, devemos acrescentar uma constante de integração C. Igualando as primitivas:
y^{2}+3y = 2x - e^{x} + C.
Passo 4
Aplicar a condição inicial para determinar a constante C.
A condição inicial é y(0)=0. Substituímos x=0 e y=0 na expressão obtida:
0^{2} + 3\cdot 0 = 2\cdot 0 - e^{0} + C \quad\Rightarrow\quad 0 = 0 - 1 + C.
Assim C=1. Portanto a solução implícita é
y^{2}+3y = 2x - e^{x} + 1.
Passo 5
Resolver explicitamente para y (resolver a quadrática em y).
A equação obtida é uma equação quadrática em y:
y^{2}+3y -\bigl(2x - e^{x} + 1\bigr)=0.
Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver ay^{2}+by+c=0 com a=1, b=3, c=-(2x-e^{x}+1). A solução é
Como a condição inicial exige y(0)=0, devemos escolher o sinal + na fórmula. Assim a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\frac{-3 + \sqrt{13+8x -4e^{x}}}{2}.
Comentário sobre domínio: a expressão está bem definida enquanto o radicando 13+8x-4e^{x} for não negativo. Pelo teorema de existência e unicidade (não detalhado aqui), perto de x=0 existe e é única solução porque o lado direito da ODE é contínuo e Lipschitz em y numa vizinhança de (0,0) (note que 3+2y\neq 0 em y=0). Portanto a fórmula acima descreve a solução local que passa por (0,0).
Passo 7
Verificação rápida (opcional, só para ter confiança).
A solução foi obtida integrando separadamente e aplicando a condição inicial; se desejado, pode-se derivar implicitamente a relação
y^{2}+3y = 2x - e^{x} +1
para recuperar \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2-e^{x}}{3+2y}, confirmando que a solução implícita é coerente. A escolha da raiz positiva garante a condição inicial.