(9) A função logaritmo natural é a função definida por
\ln x=\log _{e} x=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t, \quad \text { sendo } \quad x>0
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
\ln (a \cdot b)=\ln (a)+\ln (b), \quad \forall a, b>0;

Passo 1

O enunciado define
\ln x = \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\,dt,\quad x>0,
e pede para verificar, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) para a,b>0. Vamos começar escrevendo \ln(ab) como integral e depois decompor.

Passo 2

Escrevemos
\ln(ab)=\int_{1}^{ab}\frac{1}{t}\,dt
e, pela aditividade da integral em intervalos contíguos, dividimos o intervalo em [1,a] e [a,ab]:
\int_{1}^{ab}\frac{1}{t}\,dt = \int_{1}^{a}\frac{1}{t}\,dt + \int_{a}^{ab}\frac{1}{t}\,dt.

Passo 3

Pela própria definição de \ln, o primeiro termo é
\int_{1}^{a}\frac{1}{t}\,dt = \ln a.

Passo 4

Para o segundo termo, usamos a substituição
t = a\,u,\quad dt = a\,du,
com t=a\implies u=1 e t=ab\implies u=b. Assim,
\int_{a}^{ab}\frac{1}{t}\,dt = \int_{1}^{b}\frac{1}{a\,u}\,a\,du = \int_{1}^{b}\frac{1}{u}\,du =\ln b.

Passo 5

Somando os dois resultados temos
\ln(ab) = \ln a + \ln b
como queríamos demonstrar.

Resposta

\ln(ab)=\ln a+\ln b

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