(9) A função logaritmo natural é a função definida por
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
;
Passo 1
O enunciado define
e pede para verificar, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que
para
. Vamos começar escrevendo
como integral e depois decompor.
Passo 2
Escrevemos
e, pela aditividade da integral em intervalos contíguos, dividimos o intervalo em
e
:
Passo 3
Pela própria definição de
, o primeiro termo é
Passo 4
Para o segundo termo, usamos a substituição
com
e
. Assim,
Passo 5
Somando os dois resultados temos
como queríamos demonstrar.