(9) A função logaritmo natural é a função definida por
\ln x=\log _{e} x=\int_{1}^{x} \frac{1}{t} d t, \quad \text { sendo } \quad x>0
Utilize o Teorema Fundamental do Cálculo para verificar as seguintes propriedades:
(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x};

Passo 1

O enunciado define a função
\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt,\quad x>0
e pede para verificar, usando o Teorema Fundamental do Cálculo, que
(\ln x)' = \frac{1}{x}.

Passo 2

O Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2) afirma que, se f é contínua em [a,b] e
F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt,
então F é diferenciável em (a,b) e
F'(x) = f(x).

Passo 3

No nosso caso, f(t) = \tfrac{1}{t} é contínua para t>0. Como
\ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t}\,dt,
aplicando o teorema obtemos
(\ln x)' = \frac{1}{x}.

Resposta

(\ln x)' = \frac{1}{x}.

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