O que é Função de onda? Como a obtemos?

Passo 1

O enunciado pergunta o que é a função de onda e como a obtemos. Esse é um tema de mecânica quântica fundamental: precisamos entender o significado físico de \psi(x,t) e ver como ela surge como solução da equação de Schrödinger.

Passo 2

A função de onda é uma função complexa \psi(x,t) que contém toda a informação quântica de uma partícula unidimensional (ou, em geral, de um sistema). A interpretação de Born diz que
|\psi(x,t)|^2
é a densidade de probabilidade de encontrar a partícula em x no instante t. Por isso precisamos que \psi seja normalizável, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty}|\psi(x,t)|^2\,dx = 1.

Passo 3

Para obter \psi(x,t) precisamos resolver a equação de Schrödinger dependente do tempo, que em uma dimensão vale
i\hbar\frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat H\,\psi(x,t),
onde \hat H é o operador Hamiltoniano do sistema, tipicamente
\hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x).

Passo 4

Na prática, procedemos assim:
  1. Definimos o potencial V(x) e as condições de contorno (por exemplo, \psi\to0 em |x|\to\infty).
  2. Procuramos estados estacionários separando variáveis: \psi(x,t)=\varphi(x)\,T(t).
  3. Isso leva à equação estacionária
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\varphi(x)}{dx^2} + V(x)\,\varphi(x) = E\,\varphi(x),
que é um problema de autovalores para E e autofunções \varphi(x).
4. A solução geral é uma superposição dos autoestados:
\psi(x,t) = \sum_n c_n\,\phi_n(x)\,e^{-iE_n t/\hbar},
onde os coeficientes c_n vêm da condição inicial \psi(x,0).

Passo 5

Por fim normalizamos a combinação linear de modos \{\phi_n\} para garantir \int|\psi|^2=1. Assim obtemos a função de onda completa \psi(x,t), que evolui segundo Schrödinger e permite calcular probabilidades de medida.

Resposta

A função de onda é a função complexa \psi(x,t) cujo quadrado do módulo dá a densidade de probabilidade de posição. Obtém-se \psi resolvendo a equação de Schrödinger dependente do tempo
i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat H\,\psi
com o Hamiltoniano dado, as condições de contorno e a normalização adequada; na prática, faz-se separação de variáveis e escreve-se a solução como superposição dos autovetores de energia.

Exercícios relacionados