Calcule a densidade atômica linear para as células unitárias BCC e FCC nas direções [110] e [100].

Passo 1

O enunciado pede a densidade atômica linear (DAL) para as estruturas cúbicas BCC e FCC nas direções [100] e [110]. A DAL é definida como
\rho = \frac{N}{L},
onde N é o número de centros de átomos ao longo de um segmento cristalográfico e
L = a\,\sqrt{h^2 + k^2 + l^2}
é o comprimento da direção [hkl] em função da aresta a. Vamos, portanto, contar quantos centros de átomos caem sobre cada segmento de comprimento L e calcular \rho.

Passo 2

Para a direção [100], o vetor vai de (0,0,0) a (1,0,0), logo
L = a\,\sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = a.
Em ambas as redes (BCC e FCC) só há átomos nos cantos que tocam a aresta, um em cada extremidade do segmento. Cada átomo de canto contribui com metade \tfrac12 para o segmento, então
N = \tfrac12 + \tfrac12 = 1
e
\rho_{[100]} = \frac{1}{a}.

Passo 3

Para a direção [110] na BCC, o vetor vai de (0,0,0) a (1,1,0), então
L = a\,\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = a\sqrt{2}.
Na BCC não há átomo em (0,5,0,5,0) (o átomo de corpo fica em (0,5,0,5,0,5), que não está sobre o plano z=0). Logo, apenas os cantos entram na contagem, totalizando
N = \tfrac12 + \tfrac12 = 1
e
\rho_{[110]}^\text{BCC} = \frac{1}{a\sqrt{2}}.

Passo 4

Para a direção [110] na FCC, temos o mesmo comprimento
L = a\sqrt{2},
mas agora há, além dos dois cantos, um átomo completo no centro da face em (0,5,0,5,0). Assim
N = \tfrac12 + 1 + \tfrac12 = 2
e
\rho_{[110]}^\text{FCC} = \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{a}.

Resposta

Para aresta a: \rho_{[100]}^\text{BCC} = \tfrac{1}{a} \rho_{[110]}^\text{BCC} = \tfrac{1}{a\sqrt{2}} \rho_{[100]}^\text{FCC} = \tfrac{1}{a} \rho_{[110]}^\text{FCC} = \tfrac{\sqrt{2}}{a}

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