A função de produção da empresa fabricante de computadores pessoais Disk, Inc. é expressa por
q=10 K^{0,5} L^{0,5}
onde q é o número de computadores produzidos diariamente, K é o número de horas-máquina e L é o número de horas do insumo trabalho. Um concorrente da Disk, a empresa Floppy, Inc., está utilizando a função de produção
q=10 K^{0,6} L^{0,4}
a. Se ambas as empresas utilizam quantidades iguais de capital e trabalho, qual das duas produz mais?
b. Suponhamos que o capital esteja limitado a 9 horas-máquina, porém o trabalho seja ilimitado. Em qual das duas empresas seria maior o produto marginal do trabalho? Explique.

Passo 1

O enunciado fornece duas funções de produção Cobb–Douglas com retornos constantes de escala:
q_D = 10\,K^{0,5}L^{0,5}
q_F = 10\,K^{0,6}L^{0,4}
Ele pede (a) comparar as produções quando K=L e (b) comparar o produto marginal do trabalho quando o capital está fixo em 9 horas-máquina e o trabalho é ilimitado.

Passo 2

Para (a), suponha K=L. Então
q_D = 10\,K^{0,5}K^{0,5} = 10\,K^{1} = 10\,K
e
q_F = 10\,K^{0,6}K^{0,4} = 10\,K^{1} = 10\,K.
Logo, com K=L ambas produzem igualmente:
q_D = q_F = 10\,K.

Passo 3

Para (b), calculamos o produto marginal do trabalho \mathrm{MPL}=\partial q/\partial L em cada firma e depois fixamos K=9.
Em Disk, Inc.:
\mathrm{MPL}_D = \frac{\partial}{\partial L}\bigl(10\,K^{0,5}L^{0,5}\bigr) = 10\,K^{0,5}\cdot0,5\,L^{-0,5} =5\,K^{0,5}L^{-0,5}.
Em Floppy, Inc.:
\mathrm{MPL}_F = \frac{\partial}{\partial L}\bigl(10\,K^{0,6}L^{0,4}\bigr) =10\,K^{0,6}\cdot0,4\,L^{-0,6} =4\,K^{0,6}L^{-0,6}.
Agora fixe K=9:
\mathrm{MPL}_D =5\cdot9^{0,5}L^{-0,5}=15\,L^{-0,5}, \quad \mathrm{MPL}_F =4\cdot9^{0,6}L^{-0,6}\approx14{,}95\,L^{-0,6}.
Para qualquer L\ge1, temos
15\,L^{-0,5}>14{,}95\,L^{-0,6}
(o que se confirma também pela diferença nos expoentes de L: em Disk ele é -0,5 e em Floppy é -0,6, logo o de Disk decresce mais lentamente).

Resposta

a) Ambas produzem a mesma quantidade quando K=L.
b) O produto marginal do trabalho é maior em Disk, Inc. pelo expoente mais alto em L (0,5 contra 0,4), o que faz \mathrm{MPL}_D decrescer menos rápido e ser sempre maior para L\ge1.

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