As funções a seguir representam rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? O que acontece com o produto marginal de cada fator isolado quando esse fator aumenta e o outro se mantém constante?
Passo 1
O enunciado fornece a função de produção
e pede (a) identificar se há rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes, e (b) analisar o que acontece com o produto marginal de cada fator isolado ao aumentarmos esse fator mantendo o outro constante.
Para isso vamos usar (i) o teste de escala, comparando com
, e (ii) a definição de produto marginal como derivada parcial de
.
Para isso vamos usar (i) o teste de escala, comparando
Passo 2
Calculemos a função quando dobramos (ou, em geral, escalamos em fator
) os insumos:
Em contraste,
Passo 3
Comparando termo a termo, para
vale
logo
Isto significa que a função apresenta rendimentos de escala decrescentes.
Passo 4
Agora vamos ao produto marginal de cada fator, definindo
Derivando,
Passo 5
- Para o trabalho
:
diminui à medida que aumenta, já que o denominador cresce. - Para o capital
:
é constante, independente do nível de .
Resposta
Rendimentos de escala decrescentes.
O produto marginal do trabalho é decrescente em
;
o produto marginal do capital é constante em
.
O produto marginal do trabalho
o produto marginal do capital