As funções a seguir representam rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes? O que acontece com o produto marginal de cada fator isolado quando esse fator aumenta e o outro se mantém constante?
q=4 L^{1 / 2}+4 K

Passo 1

O enunciado fornece a função de produção
q = 4\,L^{1/2} + 4\,K
e pede (a) identificar se há rendimentos de escala crescentes, constantes ou decrescentes, e (b) analisar o que acontece com o produto marginal de cada fator isolado ao aumentarmos esse fator mantendo o outro constante.
Para isso vamos usar (i) o teste de escala, comparando q(tL,tK) com t\,q(L,K), e (ii) a definição de produto marginal como derivada parcial de q.

Passo 2

Calculemos a função quando dobramos (ou, em geral, escalamos em fator t) os insumos:
q(tL,tK) =4\,(tL)^{1/2}+4\,(tK) =4\,t^{1/2}L^{1/2}+4\,t\,K.
Em contraste,
t\,q(L,K) =t\bigl(4\,L^{1/2}+4\,K\bigr) =4\,t\,L^{1/2}+4\,t\,K.

Passo 3

Comparando termo a termo, para t>1 vale
4\,t^{1/2}L^{1/2}<4\,t\,L^{1/2},
logo
q(tL,tK)<t\,q(L,K).
Isto significa que a função apresenta rendimentos de escala decrescentes.

Passo 4

Agora vamos ao produto marginal de cada fator, definindo
MP_L=\frac{\partial q}{\partial L}, \quad MP_K=\frac{\partial q}{\partial K}.
Derivando,
MP_L =\frac{\partial}{\partial L}\bigl(4\,L^{1/2}\bigr) =4\cdot\frac12\,L^{-1/2} =\frac{2}{\sqrt{L}},
MP_K =\frac{\partial}{\partial K}(4\,K) =4.

Passo 5

  • Para o trabalho L:
    \displaystyle MP_L=2/\sqrt{L} diminui à medida que L aumenta, já que o denominador \sqrt{L} cresce.
  • Para o capital K:
    \displaystyle MP_K=4 é constante, independente do nível de K.

Resposta

Rendimentos de escala decrescentes.
O produto marginal do trabalho \bigl(MP_L\bigr) é decrescente em L;
o produto marginal do capital \bigl(MP_K\bigr) é constante em K.

Exercícios relacionados