1. (a) O que é uma funçâo racional própria?
    (b) Qual é a condição que o grau do numerador e o grau do denominador de uma função racional devem satisfazer para que o método das fraçöes parciais seja diretamente aplicável?
    (c) Se a condiçăo de (b) nâo for satisfeita, o que deve ser feito para podermos utilizar as fraçöes parciais?

Passo 1

O enunciado quer que a gente fale sobre funções racionais e o método de frações parciais. Primeiro, definir o que é uma função racional própria; depois, dizer qual relação entre o grau do numerador e o grau do denominador permite aplicar frações parciais sem ajustes; e por fim, se essa relação não valer, o que fazer para usar frações parciais.

Passo 2

Uma função racional é qualquer quociente de dois polinômios, digamos
R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}.
Ela é dita própria quando o grau de P fica estritamente abaixo do grau de Q, isto é,
\deg(P)<\deg(Q).

Passo 3

O método das frações parciais exige que a função racional seja própria, porque a decomposição pressupõe que o numerador tenha grau menor que o denominador. Em outras palavras, a condição é exatamente
\deg(P)<\deg(Q).

Passo 4

Se por acaso \deg(P)\ge\deg(Q), a função não é própria e não dá para aplicar frações parciais diretamente. Nesse caso, a gente faz antes uma divisão algébrica de polinômios entre P e Q. O resultado é
\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},
onde S(x) é um polinômio e \deg(R)<\deg(Q). Aí sim \tfrac{R(x)}{Q(x)} é própria e podemos usar frações parciais nela.

Resposta

(a) É uma função racional \tfrac{P(x)}{Q(x)} em que \deg(P)<\deg(Q).
(b) É preciso que \deg(P)<\deg(Q).
(c) Deve-se fazer a divisão algébrica de P por Q, escrevendo
\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},
com \deg(R)<\deg(Q), e então aplicar frações parciais à parte própria \tfrac{R(x)}{Q(x)}.

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