Suponha que a função f(x)=P(x) / Q(x) seja uma função racional própría.
Para cada fator de Q(x) da forma (a x+b)^{m}, a decomposiçâo em fraçôes parciais de f contém a soma a seguir de m fraçöes parciais: \qquad

Passo 1

O enunciado considera uma função racional própria
f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}
e pergunta como fica a parte da decomposição em frações parciais relativa a um fator linear repetido (a x+b)^{m} em Q(x). Vamos usar o método de coeficientes indeterminados para fatores lineares repetidos.

Passo 2

Na decomposição em frações parciais, cada fator linear (a x+b) elevado à multiplicidade m gera exatamente m parcelas em que atribuímos um coeficiente indeterminado a cada potência de (a x+b). Isso garante que ao somar tudo sobre o mesmo denominador (a x+b)^{m} possamos ajustar os coeficientes para recuperar P(x).

Passo 3

Portanto, para o fator (a x+b)^{m} a soma correspondente na decomposição é
\frac{A_{1}}{a x+b} \;+\;\frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}} \;+\;\dots+\;\frac{A_{m}}{(a x+b)^{m}}.

Resposta

\frac{A_{1}}{a x+b} + \frac{A_{2}}{(a x+b)^{2}} + \dots + \frac{A_{m}}{(a x+b)^{m}}

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