A Função de Transferência da planta é data pela forma:
H(s)=\frac{H_{0} \frac{\omega_{0}}{Q} s}{s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q} s+\omega_{0}^{2}}
Determinar:
a ) Os pólos da Função de Transferência;
b) A Transformada Inversa de Laplace;

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
H(s)=\frac{H_{0}\,\frac{\omega_{0}}{Q}\,s}{s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}\,s+\omega_{0}^{2}}
e pede (a) os polos de H(s) e (b) a transformada inversa de Laplace h(t)=\Laplace^{-1}\{H(s)\}. Para isso vamos (i) achar as raízes do denominador com a fórmula de Bhaskara e (ii) reescrever H(s) numa forma padrão (s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2} para aplicar fórmulas conhecidas de transformadas inversas.

Passo 2

Os polos são as soluções da equação característica
s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}\,s+\omega_{0}^{2}=0.
Pela fórmula de Bhaskara temos
s_{1,2}=-\frac{\frac{\omega_{0}}{Q}}{2}\pm\frac{1}{2}\sqrt{\Bigl(\frac{\omega_{0}}{Q}\Bigr)^{2}-4\,\omega_{0}^{2}} =-\frac{\omega_{0}}{2Q}\pm j\,\omega_{0}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}}.

Passo 3

Para a transformada inversa, definimos
\alpha=\frac{\omega_{0}}{2Q}, \qquad \omega_{d}=\omega_{0}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}},
de modo que
s^{2}+\frac{\omega_{0}}{Q}s+\omega_{0}^{2} =(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}.
Escrevemos o numerador s como (s+\alpha)-\alpha, logo
H(s) =H_{0}\frac{\omega_{0}}{Q} \;\frac{(s+\alpha)-\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}} =H_{0}\frac{\omega_{0}}{Q}\!\!\Bigl[ \frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}} -\frac{\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}} \Bigr].

Passo 4

Usamos as fórmulas padrão de Laplace:
\Laplace\{e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}t)\} =\frac{s+\alpha}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}, \qquad \Laplace\{e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t)\} =\frac{\omega_{d}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}.
Para o segundo termo, note que \alpha/[(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}] corresponde a (\alpha/\omega_{d})\Laplace\{e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t)\}.

Passo 5

Invertendo cada parte, obtemos para t\ge0:
h(t) =H_{0}\frac{\omega_{0}}{Q}\Bigl[ e^{-\alpha t}\cos(\omega_{d}t) -\frac{\alpha}{\omega_{d}}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t) \Bigr].
Substituindo \alpha e \omega_{d} nas expressões finais, chega-se à resposta.

Resposta

a) Os polos são
s_{1,2} =-\frac{\omega_{0}}{2Q}\pm j\,\omega_{0}\sqrt{1-\frac{1}{4Q^{2}}}.
b) A resposta ao impulso é
h(t) =H_{0}\,\frac{\omega_{0}}{Q}\, e^{-\frac{\omega_{0}}{2Q}t} \Biggl[\cos\!\Bigl(\omega_{0}\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^{2}}}\,t\Bigr) -\frac{\tfrac{\omega_{0}}{2Q}} {\omega_{0}\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^{2}}}} \sin\!\Bigl(\omega_{0}\sqrt{1-\tfrac{1}{4Q^{2}}}\,t\Bigr) \Biggr].

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