QUESTÃO 01 - Um sistema de segunda ordem com razão de amortecimento 0.6 e frequência natural não amortecida 5 \mathrm{rad} / \mathrm{seg}.
a) Escrever a função de transferência do sistema.
b) Se o sistema for submetido a uma entrada unitária, obtenha o tempo de subida \mathrm{t}_{\mathrm{r}}, tempo de pico \mathrm{t}_{\mathrm{p}}, overshoot máximo \mathrm{M}_{\mathrm{p}} e tempo de estabilização \mathrm{t}_{\mathrm{s}} no critério de 2 \% e 5 \%.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de segunda ordem com razão de amortecimento \zeta=0,6 e frequência natural não amortecida \omega_n=5,rad/s.
Conteúdo: modelo padrão de sistemas LTI de 2ª ordem e fórmulas de resposta ao degrau subamortecida. Vamos (a) montar a função de transferência e (b) calcular as especificações de tempo de subida \mathrm{t}_r, tempo de pico \mathrm{t}_p, overshoot máximo M_p e tempo de estabilização \mathrm{t}_s para critérios de 2\% e 5\%.

Passo 2

Para um sistema subamortecido de 2ª ordem, a função de transferência padrão é
G(s)\;=\;\frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\,\zeta\,\omega_n\,s + \omega_n^2}.
Substituindo \zeta=0,6 e \omega_n=5, fica
G(s)\;=\;\frac{25}{s^2 + 2\cdot0,6\cdot5\,s + 25} \;=\;\frac{25}{s^2 + 6\,s + 25}.

Passo 3

Para entrada degrau unitário, definimos a frequência amortecida
\omega_d = \omega_n\sqrt{1-\zeta^2} = 5\sqrt{1-0,6^2} = 5\cdot0,8 = 4\text{ rad/s}.
O tempo de pico \mathrm{t}_p e o overshoot máximo M_p são
\mathrm{t}_p = \frac{\pi}{\omega_d} = \frac{\pi}{4} \approx 0,785\text{ s},
M_p = \exp\!\Bigl(-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}\Bigr)\times100\% = \exp\!\Bigl(-\frac{0,6\pi}{0,8}\Bigr)\times100\% \approx 9,45\%.

Passo 4

O tempo de subida \mathrm{t}_r (de 10% a 90% do valor final) é dado por
\mathrm{t}_r = \frac{\pi - \varphi}{\omega_d}, \quad \varphi = \arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\zeta}\bigr) = \arctan\!\bigl(\tfrac{0,8}{0,6}\bigr) \approx 0,927\text{ rad},
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\mathrm{t}_r = \frac{\pi - 0,927}{4} \approx 0,554\text{ s}.

Passo 5

O tempo de estabilização \mathrm{t}_s para tolerâncias \pm\alpha é
\mathrm{t}_s(\alpha) = -\frac{\ln(\alpha)}{\zeta\,\omega_n}.
Para \alpha=0,02:
\mathrm{t}_s(2\%) = -\frac{\ln(0,02)}{0,6\cdot5} = \frac{3,912}{3} \approx 1,304\text{ s}.
Para \alpha=0,05:
\mathrm{t}_s(5\%) = -\frac{\ln(0,05)}{0,6\cdot5} = \frac{2,996}{3} \approx 0,999\text{ s}.

Resposta

(a)
G(s) = \frac{25}{s^2 + 6\,s + 25}.
(b) \mathrm{t}_r \approx 0,554 s; \mathrm{t}_p \approx 0,785 s; M_p \approx 9,45\%; \mathrm{t}_s(2\%) \approx 1,304 s; \mathrm{t}_s(5\%) \approx 0,999 s.

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