A Função de Transferência da planta é data pela forma:
\frac{\Phi(s)}{U(s)}=\frac{\frac{\mathbf{m l}}{\mathbf{q}} s}{s^{3}+\frac{\mathbf{b}\left(\mathbf{I}+\mathbf{m l ^ { 2 }}\right)}{\mathbf{q}} s^{2}-\frac{(\mathbf{M}+\mathbf{m}) \mathbf{m g l}}{\mathbf{q}} s-\frac{\mathbf{b m g l}}{\mathbf{q}}}
where,
\mathbf{q}=\left\lceil(\mathbf{M}+\mathbf{m})\left(\mathbf{I}+\mathbf{m} \mathbf{l}^{2}\right)-(\mathbf{m l})^{2}\right\rceil
Determinar:
a ) Os pólos da Função de Transferência;
b) A Transformada Inversa de Laplace;

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência da planta
\frac{\Phi(s)}{U(s)} =\frac{\dfrac{m\,l}{q}\;s} {s^{3}+\dfrac{b\,(I+m\,l^{2})}{q}\,s^{2} -\dfrac{(M+m)\,m\,g\,l}{q}\,s -\dfrac{b\,m\,g\,l}{q}}
com
q=(M+m)(I+m\,l^{2})-(m\,l)^{2}\,.
Pede-se (a) os pólos dessa FT, isto é, as raízes do denominador, e (b) a transformada inversa de Laplace de \Phi(s)/U(s), ou seja, a resposta ao impulso.

Passo 2

Definimos o polinômio do denominador
P(s)=s^{3}+a_{2}\,s^{2}+a_{1}\,s+a_{0}
com
a_{2}=\frac{b\,(I+m\,l^{2})}{q},\quad a_{1}=-\frac{(M+m)\,m\,g\,l}{q},\quad a_{0}=-\frac{b\,m\,g\,l}{q}\,.
Então
\frac{\Phi(s)}{U(s)} =\frac{m\,l}{q}\;\frac{s}{P(s)}\,.

Passo 3

Os pólos p_{1},p_{2},p_{3} são as raízes de
P(s)=0\quad\Longrightarrow\quad s^{3}+a_{2}\,s^{2}+a_{1}\,s+a_{0}=0.
Em geral não há fórmula simples para raízes de um cúbico em termos de M,m,I,b,l,g, então mantemos
\{p_{1},p_{2},p_{3}\} =\text{soluções de }P(s)=0.çõ

Passo 4

Para achar a resposta ao impulso fazemos decomposição em frações parciais. Como
\frac{s}{(s-p_{1})(s-p_{2})(s-p_{3})} =\frac{A_{1}}{s-p_{1}}+\frac{A_{2}}{s-p_{2}}+\frac{A_{3}}{s-p_{3}},
multiplicamos por (s-p_{i}) e avaliamos em s=p_{i}, obtendo
A_{i} =\frac{p_{i}}{(p_{i}-p_{j})(p_{i}-p_{k})} \quad\text{para } \{i,j,k\}=\{1,2,3\}\,.

Passo 5

Aplicando a transformada inversa de Laplace temos, para t\ge0,
\varphi(t) =\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{\Phi(s)}{U(s)}\Bigr\} =\frac{m\,l}{q}\sum_{i=1}^{3} A_{i}\,e^{p_{i}\,t}
com
A_{i} =\frac{p_{i}}{(p_{i}-p_{j})(p_{i}-p_{k})} \quad(i\neq j\neq k).

Resposta

Os pólos são as raízes p_{1},p_{2},p_{3} de
s^{3}+\frac{b\,(I+m\,l^{2})}{q}\,s^{2} -\frac{(M+m)\,m\,g\,l}{q}\,s -\frac{b\,m\,g\,l}{q}=0.
A transformada inversa de Laplace (resposta ao impulso) é
\varphi(t)=\frac{m\,l}{q} \sum_{i=1}^{3} \frac{p_{i}}{(p_{i}-p_{j})(p_{i}-p_{k})}\,e^{p_{i}t} \quad(t\ge0),
onde em cada termo i tem-se \{i,j,k\}=\{1,2,3\}.

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