A função de transferência para um processo de resposta inversa é dada por:
G(s)=K(1-tau3)(tau1 s+1)(tau2 s+1)
Apresente um controlador pelo método da Síntese Direta. Escolha uma função de transferência de malha fechada apropriada como objetivo. É possível reescrever este controlador na forma de um PID e em qual estrutura (padrão, série ou não-interativa)?

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado dá um processo
G(s)=K,(1-tau3)(tau1 s+1)(tau2 s+1)
e pede pra gente projetar um controlador via Método da Síntese Direta. Ou seja, vamos escolher uma malha fechada desejada, usar a fórmula de síntese e depois mostrar como esse controlador é um PID e em que estrutura ele fica. O que precisamos: definição de função de transferência, manipular frações algébricas em e conhecer a forma geral de um PID (termos proporcional, integral e derivativo).

Passo 2

Primeiro escolhemos uma função de malha fechada desejada simples, por exemplo
Grm cl(s)=1lambda s+1
onde é o tempo de resposta que a gente quer (um grau de liberdade do projeto). Esse diz que, para qualquer referência, a saída deve seguir com dinâmica de uma primeira ordem de constante de tempo .

Passo 3

A síntese direta diz que o controlador é
C(s);=;Grm cl(s)G(s),l(1-Grm cl(s)r)
Substituindo C(s) = 1lambda s+1 K(1-tau3)(tau1 s+1)(tau2 s+1);lambda slambda s+1 =1lambda s,(tau1 s+1)(tau2 s+1)K(1-tau3) e no numerador/denominador:
  1. .
  2. Então

Passo 4

Multiplicando e separando em potências de (tau1 s+1)(tau2 s+1) =tau1tau2,s^2+(tau1+tau2),s+1 :
C(s) =tau1tau2,s^2+(tau1+tau2),s+1 K(1-tau3),lambda,s
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Passo 5

Agora escrevemos C(s) =underbracetau1tau2K(1-tau3),lambdaKd,s ;+;underbracetau1+tau2K(1-tau3),lambdaKp ;+;underbrace1K(1-tau3),lambdaKi,1s como soma de termos proporcional ( ), integral ( ) e derivativo ( ):
Pronto, isso é exatamente um PID na forma padrão (paralelo), onde cada ganho é independente – ou seja, não-interativo.

Resposta

O controlador projetado por síntese direta é
boxed C(s) =tau1tau2K(1-tau3),lambda,s ;+;tau1+tau2K(1-tau3),lambda ;+;1K(1-tau3),lambda,1s,
que é um PID na estrutura padrão (paralelo, não-interativo), com
Kd=tau1tau2K(1-tau3),lambda,; Kp=tau1+tau2K(1-tau3),lambda,; Ki=1K(1-tau3),lambda

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