Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do processo como sendo:
G(s)=2,5(5 s+1)(0,8 s+1)(0,2 s+1)
Determine os parâmetros de sintonização do controlador (escolha uma estrutura PI ou PID) pelos métodos Ziegler-Nichols de malha fechada: determine o ganho último e o período de oscilação analiticamente.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar os parâmetros de sintonia de um controlador (PI ou PID) pelo método de Ziegler–Nichols em malha fechada, ou seja, precisamos determinar o ganho último G(s) = 2,5(5s+1),(0,8s+1),(0,2s+1) e o período de oscilação do sistema de realimentação unitária cuja planta é
Conteúdo envolvido: análise de estabilidade (condição de oscilação sustentada via ângulo de em ) e cálculo de ganho crítico ( ). Depois, aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para PID. Vamos precisar usar arctangentes para a fase e raiz quadrada para o módulo.

Passo 2

Condição de oscilação sustentada (método de Nyquist simplificado): quando a malha fechada oscila, em ang<= G(jomega) ;=; -l[tan^-1(5omega)+tan^-1(0,8omega)+tan^-1(0,2omega)r] = -pi o laço aberto atende
  1. fase total de K;llvert G(jomega)rrvert = 1 :
  1. módulo unitário com o ganho :
Primeiro, vamos achar que faz a soma das arctangentes dar .

Passo 3

A gente testa valores de até a soma das fases dar aproximadamente . Veja um chute-e-confere rápido:
  • :
    ,
    ,
    .
    Soma ≃ 3,062 rad (< 3,142)… ainda falta.
  • :
    ,
    ,
    .
    Soma ≃ 3,140 rad (quase ).
Logo, .

Passo 4

O período de oscilação é
Pu = 2piomegau approx 2pi2,7 approx 2,33 s

Passo 5

Agora a gente calcula o ganho crítico |G(jomegau)| = 2,5raiz1+(5omegau)^2;raiz1+(0,8omegau)^2;raiz1+(0,2omegau)^2 approx 2,513,54;times2,382;times1,137 approx 0,0682 impondo Ku = 1|G(jomegau)| approx 10,0682 approx 14,65 . Primeiro o módulo de :
Então

Passo 6

Por fim, a sintonia de PID segundo Ziegler–Nichols (tabela clássica) é
Kp = 0,6,Ku, Ti = 0,5,Pu, Td = 0,125,Pu
Substituindo:
Kp = 0,6times14,65 approx 8,79, Ti = 0,5times2,33 approx 1,165 s, Td = 0,125times2,33 approx 0,291 s

Resposta

Kp approx 8,79, Ti approx 1,17 s, Td approx 0,29 s
Escolhendo PID via Ziegler–Nichols:

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