Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do processo como sendo:
Determine os parâmetros de sintonização do controlador (escolha uma estrutura PI ou PID) pelos métodos Ziegler-Nichols de malha fechada: determine o ganho último e o período de oscilação analiticamente.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar os parâmetros de sintonia de um controlador (PI ou PID) pelo método de Ziegler–Nichols em malha fechada, ou seja, precisamos determinar o ganho último e o período de oscilação do sistema de realimentação unitária cuja planta é
Conteúdo envolvido: análise de estabilidade (condição de oscilação sustentada via ângulo de em ) e cálculo de ganho crítico (). Depois, aplicar as fórmulas de Ziegler–Nichols para PID. Vamos precisar usar arctangentes para a fase e raiz quadrada para o módulo.
Passo 2
Condição de oscilação sustentada (método de Nyquist simplificado): quando a malha fechada oscila, em o laço aberto atende
fase total de :
módulo unitário com o ganho :
Primeiro, vamos achar que faz a soma das arctangentes dar .
Passo 3
A gente testa valores de até a soma das fases dar aproximadamente . Veja um chute-e-confere rápido:
: , , .
Soma ≃ 3,062 rad (< 3,142)… ainda falta.
: , , .
Soma ≃ 3,140 rad (quase ).
Logo, .
Passo 4
O período de oscilação é
Pu = 2piomegau approx 2pi2,7 approx 2,33 s
Passo 5
Agora a gente calcula o ganho crítico |G(jomegau)| = 2,5raiz1+(5omegau)^2;raiz1+(0,8omegau)^2;raiz1+(0,2omegau)^2 approx 2,513,54;times2,382;times1,137 approx 0,0682 impondo Ku = 1|G(jomegau)| approx 10,0682 approx 14,65 . Primeiro o módulo de :
Então
Passo 6
Por fim, a sintonia de PID segundo Ziegler–Nichols (tabela clássica) é
Kp = 0,6,Ku, Ti = 0,5,Pu, Td = 0,125,Pu
Substituindo:
Kp = 0,6times14,65 approx 8,79, Ti = 0,5times2,33 approx 1,165 s, Td = 0,125times2,33 approx 0,291 s
Resposta
Kp approx 8,79, Ti approx 1,17 s, Td approx 0,29 s
Escolhendo PID via Ziegler–Nichols: