Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do processo como sendo:
Determine os parâmetros de sintonização do controlador (escolha uma estrutura PI ou PID) pelos métodos Ziegler-Nichols de malha aberta: aplique algum método de redução de ordem para um modelo de
ordem mais atraso (método de Skogestad).
Passo 1
Beleza, o que o exercício pede é: a gente tem um sistema em malha fechada com função de processo
e quer sintonizar um controlador (PI ou PID) usando o método de Ziegler–Nichols em malha aberta. Para isso temos que:
1) reduzir esse modelo de terceira ordem a um modelo de 1ª ordem com atraso (FOPDT), aplicando alguma regra do Skogestad;
2) usar as fórmulas de Ziegler–Nichols (aberto) para calcular os ganhos do controlador.
Matéria envolvida: modelagem FOPDT, método do “half-rule” de Skogestad e fórmula de Ziegler–Nichols em malha aberta. Vamos precisar entender o que é ganho estático, constante de tempo e atraso equivalente, e depois zilhar essas fórmulas no controlador.
Passo 2
Redução a FOPDT pelo “half-rule” de Skogestad
- Identificamos os três tempos de 1ª ordem:
- T₁ = 5 s (maior)
- T₂ = 0,8 s
- T₃ = 0,2 s
- Segundo uma versão simples do Skogestad, a gente junta todos os tempos menores (T₂+T₃) em um “segundo tempo efetivo”:
3. Atraso equivalente (θ): metade desse segundo tempo efetivo:
- Constante de tempo equivalente (τ): soma do maior tempo com metade do segundo tempo efetivo:
5. O ganho estático do processo é
Logo, aproximamos
$$G_{\rm FOPDT}(s)\approx \frac{K,e^{-\theta s}}{\tau s +1}
= \frac{2{,}5,e^{-0{,}5s}}{5{,}5,s+1}.$$
Passo 3
Fórmulas de Ziegler–Nichols em malha aberta
Para um controlador PID a partir de um modelo FOPDT, as regras clássicas de Z–N são:
Kₙₒₙₜ = 1{,}2 · τ/(K·θ)
Tᵢ = 2·θ
T_d = 0{,}5·θ
Para um controlador PID a partir de um modelo FOPDT, as regras clássicas de Z–N são:
Kₙₒₙₜ = 1{,}2 · τ/(K·θ)
Tᵢ = 2·θ
T_d = 0{,}5·θ
Substituindo τ=5,5 s, K=2,5 e θ=0,5 s:
-
Ganho proporcional
-
Tempo integral
-
Tempo derivativo
Resposta
Controlador PID com parâmetros: