Dado um sistema com realimentação unitária com a função de transferência do processo como sendo:
G(s)=2,5(5 s+1)(0,8 s+1)(0,2 s+1)
Determine os parâmetros de sintonização do controlador (escolha uma estrutura PI ou PID) pelos métodos Ziegler-Nichols de malha aberta: aplique algum método de redução de ordem para um modelo de 1^a ordem mais atraso (método de Skogestad).

Passo 1

Beleza, o que o exercício pede é: a gente tem um sistema em malha fechada com função de processo
G(s)=2,5(5,s+1),(0,8,s+1),(0,2,s+1)
e quer sintonizar um controlador (PI ou PID) usando o método de Ziegler–Nichols em malha aberta. Para isso temos que:
1) reduzir esse modelo de terceira ordem a um modelo de 1ª ordem com atraso (FOPDT), aplicando alguma regra do Skogestad;
2) usar as fórmulas de Ziegler–Nichols (aberto) para calcular os ganhos do controlador.
Matéria envolvida: modelagem FOPDT, método do “half-rule” de Skogestad e fórmula de Ziegler–Nichols em malha aberta. Vamos precisar entender o que é ganho estático, constante de tempo e atraso equivalente, e depois zilhar essas fórmulas no controlador.

Passo 2

Redução a FOPDT pelo “half-rule” de Skogestad
  1. Identificamos os três tempos de 1ª ordem:
    • T₁ = 5 s (maior)
    • T₂ = 0,8 s
    • T₃ = 0,2 s
  2. Segundo uma versão simples do Skogestad, a gente junta todos os tempos menores (T₂+T₃) em um “segundo tempo efetivo”: T2e = T2 + T3 = 0,8 + 0,2 = 1,0 s
    3. Atraso equivalente (θ): metade desse segundo tempo efetivo:
    theta = T2e2 = 1,02 = 0,5 s
  3. Constante de tempo equivalente (τ): soma do maior tempo com metade do segundo tempo efetivo: tau = T1 + T2e2 = 5 + 0,5 = 5,5 s
    5. O ganho estático do processo é
    K = 2,5(é só o numerador, pois cada termo (T s+1) em regime permanente vira 1)éó
Logo, aproximamos
$$G_{\rm FOPDT}(s)\approx \frac{K,e^{-\theta s}}{\tau s +1}
= \frac{2{,}5,e^{-0{,}5s}}{5{,}5,s+1}.$$

Passo 3

Fórmulas de Ziegler–Nichols em malha aberta
Para um controlador PID a partir de um modelo FOPDT, as regras clássicas de Z–N são:
Kₙₒₙₜ = 1{,}2 · τ/(K·θ)
Tᵢ = 2·θ
T_d = 0{,}5·θ
Substituindo τ=5,5 s, K=2,5 e θ=0,5 s:
  1. Ganho proporcional
    Kc = 1,2;tauK,theta =1,2;5,52,5cdot0,5 =1,2;5,51,25 =1,2cdot4,4 =5,28
  2. Tempo integral
    Ti = 2,theta = 2cdot0,5 =1,0 s
  3. Tempo derivativo
    Td = 0,5,theta = 0,5cdot0,5 =0,25 s

Resposta

Controlador PID com parâmetros:
Kc = 5,28, Ti = 1,0 s, Td = 0,25 s

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