A função de transferência de um sistema é definida como:
a) Relação entre entrada e saída no tempo
b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace
c) Apenas a saída do sistema
d) Apenas a entrada

Passo 1

O enunciado pergunta qual alternativa define corretamente a função de transferência. As opções dadas são:
  • a) Relação entre entrada e saída no tempo
  • b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace
  • c) Apenas a saída do sistema
  • d) Apenas a entrada
O que se pede: escolher qual dessas frases corresponde à definição correta de função de transferência.

Passo 2

Primeiro vamos entender, em termos bem diretos, o que normalmente se chama de função de transferência. Em muitas disciplinas de sistemas e controle, trabalha-se com sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). Para esses sistemas definimos a função de transferência como a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, assumindo condições iniciais nulas. Em palavras simples: é uma função de s que relaciona Y(s) e U(s), onde Y(s) é a saída no domínio de Laplace e U(s) é a entrada no domínio de Laplace.

Passo 3

Agora mostro isso de maneira formal e passo a passo. Considere um sistema LTI descrito por uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, por exemplo
a_n \frac{d^n y(t)}{dt^n} + a_{n-1} \frac{d^{n-1} y(t)}{dt^{n-1}} + \cdots + a_1 \frac{d y(t)}{dt} + a_0 y(t) = b_m \frac{d^m u(t)}{dt^m} + \cdots + b_0 u(t).
Aqui u(t) é a entrada (input) e y(t) é a saída (output); os a_i e b_j são constantes do sistema. Agora aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados e, importante, assumimos condições iniciais nulas (isto é, todas as derivadas de y(t) em t=0^{-} são zero). Então as derivadas se transformam simplesmente em potências de s:
a_n s^n Y(s) + a_{n-1} s^{n-1} Y(s) + \cdots + a_0 Y(s) = b_m s^m U(s) + \cdots + b_0 U(s).

Passo 4

Factorizando Y(s) e U(s) obtemos
\bigl(a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0\bigr)Y(s) = \bigl(b_m s^m + \cdots + b_0\bigr)U(s).
Dividindo ambos os lados por U(s) e pelo polinômio em s à esquerda, definimos a função de transferência G(s) como
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{b_m s^m + \cdots + b_0}{a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \cdots + a_0}.
Esta é a definição formal: G(s) é a razão entre saída e entrada no domínio de Laplace, com condições iniciais nulas.

Passo 5

Explico por que as hipóteses são importantes: a linearidade e invariância no tempo garantem que a transformada de Laplace e a divisão acima façam sentido (soma de respostas, escala, convolução etc.). As condições iniciais nulas garantem que não apareçam termos extras vindos de valores iniciais (se tivessem, Y(s)/U(s) não representaria apenas a propriedade do sistema, mas também dependência de estados iniciais).

Passo 6

Vamos ver um exemplo simples para fixar: um sistema de primeira ordem com ganho K e constante de tempo \tau, cuja equação é
\tau \frac{d y(t)}{dt} + y(t) = K u(t).
Aplicando Laplace com condições iniciais nulas:
\tau s Y(s) + Y(s) = K U(s).
Logo
Y(s)\bigl(\tau s + 1\bigr) = K U(s), \qquad\text{e}\qquad G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)}=\frac{K}{\tau s + 1}.
Esse G(s) é exatamente a função de transferência: uma função de s que transforma U(s) em Y(s).

Passo 7

Agora comparando com as alternativas:
  • a) “Relação entre entrada e saída no tempo”: isso descreve a equação diferencial no domínio do tempo, não a função de transferência (que está no domínio de Laplace). Então a) está incorreta.
  • b) “Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace”: exatamente a definição que acabamos de deduzir; corresponde a G(s)=Y(s)/U(s). Está correta.
  • c) “Apenas a saída do sistema”: não faz sentido — a função de transferência relaciona saída e entrada, não é só a saída.
  • d) “Apenas a entrada”: idem ao item c), incorreto.

Resposta

b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace

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