A função de transferência de um sistema é definida como:
a) Relação entre entrada e saída no tempo
b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace
c) Apenas a saída do sistema
d) Apenas a entrada
a) Relação entre entrada e saída no tempo
b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace
c) Apenas a saída do sistema
d) Apenas a entrada
Passo 1
O enunciado pergunta qual alternativa define corretamente a função de transferência. As opções dadas são:
- a) Relação entre entrada e saída no tempo
- b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace
- c) Apenas a saída do sistema
- d) Apenas a entrada
O que se pede: escolher qual dessas frases corresponde à definição correta de função de transferência.
Passo 2
Primeiro vamos entender, em termos bem diretos, o que normalmente se chama de função de transferência. Em muitas disciplinas de sistemas e controle, trabalha-se com sistemas lineares e invariantes no tempo (LTI). Para esses sistemas definimos a função de transferência como a razão entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, assumindo condições iniciais nulas. Em palavras simples: é uma função de
que relaciona
e
, onde
é a saída no domínio de Laplace e
é a entrada no domínio de Laplace.
Passo 3
Agora mostro isso de maneira formal e passo a passo. Considere um sistema LTI descrito por uma equação diferencial linear com coeficientes constantes, por exemplo
Aqui
é a entrada (input) e
é a saída (output); os
e
são constantes do sistema. Agora aplicamos a transformada de Laplace a ambos os lados e, importante, assumimos condições iniciais nulas (isto é, todas as derivadas de
em
são zero). Então as derivadas se transformam simplesmente em potências de
:
Passo 4
Factorizando
e
obtemos
Dividindo ambos os lados por
e pelo polinômio em
à esquerda, definimos a função de transferência
como
Esta é a definição formal:
é a razão entre saída e entrada no domínio de Laplace, com condições iniciais nulas.
Passo 5
Explico por que as hipóteses são importantes: a linearidade e invariância no tempo garantem que a transformada de Laplace e a divisão acima façam sentido (soma de respostas, escala, convolução etc.). As condições iniciais nulas garantem que não apareçam termos extras vindos de valores iniciais (se tivessem,
não representaria apenas a propriedade do sistema, mas também dependência de estados iniciais).
Passo 6
Vamos ver um exemplo simples para fixar: um sistema de primeira ordem com ganho
e constante de tempo
, cuja equação é
Aplicando Laplace com condições iniciais nulas:
Logo
Esse
é exatamente a função de transferência: uma função de
que transforma
em
.
Passo 7
Agora comparando com as alternativas:
- a) “Relação entre entrada e saída no tempo”: isso descreve a equação diferencial no domínio do tempo, não a função de transferência (que está no domínio de Laplace). Então a) está incorreta.
- b) “Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace”: exatamente a definição que acabamos de deduzir; corresponde a
. Está correta. - c) “Apenas a saída do sistema”: não faz sentido — a função de transferência relaciona saída e entrada, não é só a saída.
- d) “Apenas a entrada”: idem ao item c), incorreto.
Resposta
b) Relação entre saída e entrada no domínio de Laplace