Um sistema linear e invariante no tempo (LTI) possui:
a) Parâmetros variáveis
b) Comportamento imprevisível
c) Parâmetros constantes
d) Apenas entrada
a) Parâmetros variáveis
b) Comportamento imprevisível
c) Parâmetros constantes
d) Apenas entrada
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha, entre as alternativas dadas, qual propriedade caracteriza um sistema linear e invariante no tempo (LTI). As informações fornecidas são as quatro alternativas:
- a) Parâmetros variáveis
- b) Comportamento imprevisível
- c) Parâmetros constantes
- d) Apenas entrada
Passo 2
Definição de linearidade (explicada passo a passo).
Um sistema é linear quando satisfaz o princípio da superposição, isto é, para quaisquer sinais de entrada e
que geram saídas
e
, e quaisquer escalares
e
, vale:
Um sistema é linear quando satisfaz o princípio da superposição, isto é, para quaisquer sinais de entrada
O que isso significa na prática: resposta a combinações lineares de entradas é a combinação linear das respostas. Aqui
e
são números (constantes escalares) e
é a variável de tempo. Exemplo simples: se um sistema transforma
em
e transforma
em
, então por linearidade ele transforma
em
.
Passo 3
Definição de invariância no tempo (explicada passo a passo).
Um sistema é invariante no tempo quando um deslocamento temporal na entrada provoca o mesmo deslocamento na saída. Formalmente: se para uma entrada a saída é
, então para qualquer deslocamento
tem-se
Um sistema é invariante no tempo quando um deslocamento temporal na entrada provoca o mesmo deslocamento na saída. Formalmente: se para uma entrada
Aqui
é um número (constante) que representa o deslocamento. Intuição: o sistema “não muda com o tempo” — se você alimentar o mesmo sinal mais tarde, a resposta é a mesma apenas deslocada, não alterada em forma.
Passo 4
Como linearidade + invariância no tempo implicam parâmetros constantes (a parte didática importante).
Sistemas LTI clássicos são frequentemente descritos por equações diferenciais com coeficientes constantes, por exemplo:
Sistemas LTI clássicos são frequentemente descritos por equações diferenciais com coeficientes constantes, por exemplo:
onde os
e
são constantes (números fixos) e
e
são entrada e saída. Explicando as variáveis:
é o tempo,
é a entrada,
é a saída,
são coeficientes que definem o sistema. Se esses coeficientes dependissem de
(isto é,
), o comportamento do sistema mudaria dependendo de quando o sinal é aplicado — então não haveria invariância no tempo. Logo, invariância no tempo exige que esses parâmetros sejam constantes no tempo.
Passo 5
Outro modo de ver por que “parâmetros constantes” é a característica correta: resposta ao impulso e convolução.
Um sistema LTI é completamente caracterizado por sua resposta ao impulso , e a saída para qualquer entrada
é dada pela convolução
Um sistema LTI é completamente caracterizado por sua resposta ao impulso
Essa fórmula funciona porque o sistema não muda com o tempo (o
só desloca a mesma função
); se os parâmetros variassem com o tempo, não existiria uma única
fixa e a expressão de convolução não valeria dessa forma simples. Isso reforça que LTI implica parâmetros constantes e comportamento previsível (controlável via
).
Passo 6
Análise das alternativas com base no que foi explicado:
- a) Parâmetros variáveis — incorreta, porque variáveis no tempo quebrariam a invariância no tempo.
- b) Comportamento imprevisível — incorreta, LTI têm comportamento previsível: determinam-se por
e usam-se ferramentas como convolução, resposta em frequência, transformadas (Fourier/Laplace). - c) Parâmetros constantes — correta, é a consequência direta de “invariante no tempo” (os coeficientes/parametros não dependem de
). - d) Apenas entrada — incorreta e sem sentido: um sistema tem entrada e saída; “apenas entrada” não define um sistema.
Passo 7
Resumo final curto e motivador: um sistema LTI é linear (superposição) e não muda com o tempo (time-invariant), por isso seus parâmetros que definem a operação são constantes no tempo — essa é a razão prática pela qual escolhemos a alternativa correta. Força aí: lembrar dessas duas definições básicas costuma resolver muitas questões parecidas na prova.
Resposta
c) Parâmetros constantes