A função de transferência de um sistema é:
a) Determine a equação diferencial que é equivalente a essa função de transferência b) Determine
quando
for um degrau unitário de entrada.
Passo 1
O enunciado nos dá a função de transferência
e pede duas coisas:
- Determinar a equação diferencial no domínio do tempo equivalente a essa função de transferência.
- Determinar
quando é um degrau unitário ( ).
Informações relevantes fornecidas:
Assume-se condições iniciais nulas quando se usa a função de transferência (isto é,
se necessário).
Passo 2
Entendendo como passar do domínio de Laplace para equação diferencial (aula rápida).
- A função de transferência foi obtida supondo condições iniciais iguais a zero; por isso ao voltar ao tempo podemos usar a correspondência direta entre multiplicação por potências de
e derivadas no tempo. - Regras principais (com condições iniciais nulas):
- Assim, um polinômio em
multiplicando corresponde a um polinômio nas derivadas de .
Passo 3
Passando a expressão algébrica para o domínio do tempo.
Multiplicando ambos os lados da função de transferência pelo denominador:
Multiplicando ambos os lados da função de transferência pelo denominador:
Aplicando a transformada inversa (assumindo condições iniciais nulas) e usando as correspondências do Passo 2, obtemos:
No lado direito:
Portanto a equação diferencial no domínio do tempo é
(com condições iniciais nulas implícitas quando a função de transferência foi usada).
Passo 4
Preparando para calcular
quando
.
- Para um degrau unitário
, tem-se a transformada
- Substituindo em
obtemos
- Note que o polinômio quadrático no denominador fatora:
Assim
Passo 5
Fração parcial (método e cálculo das constantes).
Queremos escrever
Queremos escrever
Multiplicando ambos os lados por
dá
Usa-se o método “cover-up” (substituir raízes simples) para achar
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 6
Inversão de Laplace e interpretação (como fazer na prova).
- Recordando transformadas básicas:
- Aplicando termo a termo:
- Podemos escrever de forma compacta (assumindo
e incluindo implicitamente):
Comentários úteis para a prova:
- Verificação rápida do valor em
: , coerente com condições iniciais nulas. - Valor em regime permanente:
. Isso é o ganho DC do sistema (resposta ao degrau).