Para o sistema descrito pela seguinte equação diferencial abaixo, determine a função de transferência
.
Passo 1
O enunciado fornece a seguinte equação diferencial linear de entrada-saída (peguei todos os coeficientes do enunciado):
O que é pedido: determinar a função de transferência
.
Informações relevantes e hipótese padrão que vou usar (sem te perguntar nada, porque é o procedimento usual para obter função de transferência):
- As variáveis de saída e entrada no domínio de Laplace são
e . - Ao definir a função de transferência assume-se condições iniciais nulas (isto é, todas as condições iniciais de
e suas derivadas iguais a zero). Vou explicitar isso quando usar a transformada de Laplace.
Passo 2
O método que vamos usar (sem enrolar) é aplicar a transformada de Laplace aos dois lados da equação e transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em
. Isso é padrão para obter a função de transferência porque a transformada de Laplace transforma derivadas em polinômios em
multiplicando
ou
, e com condições iniciais nulas a relação final entre
e
é direta.
Um lembrete prático do que é a função de transferência:
é a razão entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, assumindo condições iniciais nulas. Ela descreve como a entrada é “filtrada” para gerar a saída no domínio
.
Passo 3
Vou explicar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas (a ferramenta-chave aqui). Para uma função
com transformada
, vale, em geral,
De forma geral, a transformada da
-ésima derivada introduz termos que envolvem as condições iniciais. Porém, ao buscarmos a função de transferência, fazemos a hipótese padrão de condições iniciais nulas:
e análoga para
. Nessas condições, cada derivada transforma de forma simples:
Passo 4
Agora aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial, usando as propriedades acima e assumindo condições iniciais nulas. Para o lado esquerdo (termos em
):
Para o lado direito (termos em
):
Passo 5
Agrupando fatores
e
obtemos a igualdade algébrica no domínio
:
Agora isolamos a razão
dividindo ambos os lados por
e por
:
Passo 6
Vamos comentar rapidamente a forma encontrada para você entender como usar isso na prova:
- O numerador é o polinômio em
vindo dos termos da entrada: . - O denominador é o polinômio em
vindo dos termos da saída: . - Como ambos têm mesma ordem (grau
), a função de transferência é bipropria (grau do numerador = grau do denominador). Em problemas práticos pode-se verificar se há fatores comuns a cancelar; aqui não há cancelamento óbvio.
Passo 7
Resumo do procedimento (para decorar e aplicar rápido na prova):
- Assuma condições iniciais nulas ao pedir função de transferência.
- Aplique a transformada de Laplace nas derivadas usando
e . - Agrupe em termos de
e e isole .
Se quiser, treine isso com uma equação de ordem menor para ganhar velocidade (por exemplo, parao resultado seria ).