Para o sistema descrito pela seguinte equação diferencial abaixo, determine a função de transferência Y(s) / X(s).
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+5 \frac{d y}{d t}+y=\frac{d^{3} x}{d t^{3}}+4 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+6 \frac{d x}{d t}+8 x

Passo 1

O enunciado fornece a seguinte equação diferencial linear de entrada-saída (peguei todos os coeficientes do enunciado):
\frac{d^{3} y}{d t^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+5 \frac{d y}{d t}+y=\frac{d^{3} x}{d t^{3}}+4 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+6 \frac{d x}{d t}+8 x.
O que é pedido: determinar a função de transferência \dfrac{Y(s)}{X(s)}.
Informações relevantes e hipótese padrão que vou usar (sem te perguntar nada, porque é o procedimento usual para obter função de transferência):
  • As variáveis de saída e entrada no domínio de Laplace são Y(s) e X(s).
  • Ao definir a função de transferência assume-se condições iniciais nulas (isto é, todas as condições iniciais de y e suas derivadas iguais a zero). Vou explicitar isso quando usar a transformada de Laplace.

Passo 2

O método que vamos usar (sem enrolar) é aplicar a transformada de Laplace aos dois lados da equação e transformar a equação diferencial em uma equação algébrica em s. Isso é padrão para obter a função de transferência porque a transformada de Laplace transforma derivadas em polinômios em s multiplicando Y(s) ou X(s), e com condições iniciais nulas a relação final entre Y(s) e X(s) é direta.
Um lembrete prático do que é a função de transferência: \dfrac{Y(s)}{X(s)} é a razão entre as transformadas de Laplace da saída e da entrada, assumindo condições iniciais nulas. Ela descreve como a entrada é “filtrada” para gerar a saída no domínio s.

Passo 3

Vou explicar a propriedade da transformada de Laplace para derivadas (a ferramenta-chave aqui). Para uma função y(t) com transformada Y(s), vale, em geral,
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0),
\mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y^{(3)}(t)\}=s^{3}Y(s)-s^{2}y(0)-s\,y'(0)-y''(0).
De forma geral, a transformada da n-ésima derivada introduz termos que envolvem as condições iniciais. Porém, ao buscarmos a função de transferência, fazemos a hipótese padrão de condições iniciais nulas:
y(0)=y'(0)=y''(0)=0,
e análoga para x. Nessas condições, cada derivada transforma de forma simples:
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s), \qquad \mathcal{L}\{x^{(n)}(t)\}=s^{n}X(s).

Passo 4

Agora aplico a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial, usando as propriedades acima e assumindo condições iniciais nulas. Para o lado esquerdo (termos em y):
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{3} y}{d t^{3}}+3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+5 \frac{d y}{d t}+y\right\} = s^{3}Y(s)+3s^{2}Y(s)+5sY(s)+Y(s).
Para o lado direito (termos em x):
\mathcal{L}\left\{\frac{d^{3} x}{d t^{3}}+4 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+6 \frac{d x}{d t}+8 x\right\} = s^{3}X(s)+4s^{2}X(s)+6sX(s)+8X(s).

Passo 5

Agrupando fatores Y(s) e X(s) obtemos a igualdade algébrica no domínio s:
\bigl(s^{3}+3s^{2}+5s+1\bigr)Y(s)=\bigl(s^{3}+4s^{2}+6s+8\bigr)X(s).
Agora isolamos a razão \dfrac{Y(s)}{X(s)} dividindo ambos os lados por X(s) e por (s^{3}+3s^{2}+5s+1):
\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+8}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}.

Passo 6

Vamos comentar rapidamente a forma encontrada para você entender como usar isso na prova:
  • O numerador é o polinômio em s vindo dos termos da entrada: \,s^{3}+4s^{2}+6s+8.
  • O denominador é o polinômio em s vindo dos termos da saída: \,s^{3}+3s^{2}+5s+1.
  • Como ambos têm mesma ordem (grau 3), a função de transferência é bipropria (grau do numerador = grau do denominador). Em problemas práticos pode-se verificar se há fatores comuns a cancelar; aqui não há cancelamento óbvio.

Passo 7

Resumo do procedimento (para decorar e aplicar rápido na prova):
  1. Assuma condições iniciais nulas ao pedir função de transferência.
  2. Aplique a transformada de Laplace nas derivadas usando \mathcal{L}\{y^{(n)}\}=s^{n}Y(s) e \mathcal{L}\{x^{(n)}\}=s^{n}X(s).
  3. Agrupe em termos de Y(s) e X(s) e isole \dfrac{Y(s)}{X(s)}.
    Se quiser, treine isso com uma equação de ordem menor para ganhar velocidade (por exemplo, para y''+2y'+3y=x'+4x o resultado seria \dfrac{Y(s)}{X(s)}=\dfrac{s+4}{s^{2}+2s+3}).

Resposta

\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{s^{3}+4s^{2}+6s+8}{s^{3}+3s^{2}+5s+1}

Exercícios relacionados