(FUNCERN/IFRN, Edital 01/2025) O vetor posição r \vec{r} de uma partícula é descrito pela equação horária a seguir.
\vec{r}(t)=a \cos (2 \pi t) \hat{\imath}+b \operatorname{sen}(2 \pi t) \hat{\jmath}+c t \hat{k}
Considerando que \hat{l}, \hat{\jmath} e \hat{k} são vetores unitários ortogonais, que t representa o tempo em segundos e que a=2,0 \mathrm{~m}, b=3,0 \mathrm{~m}, c=6,0 \mathrm{~m} e \pi=3,1; o módulo da velocidade desta partícula, após 1,0 segundo de movimento, é de aproximadamente
(a) 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(b) 70 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(c) 20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.
(d) 100 \mathrm{~km} / \mathrm{h}.

Passo 1

O enunciado dá a equação horária da posição
\vec{r}(t)=a\cos\bigl(2\pi t\bigr)\,\hat{\imath}+b\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,\hat{\jmath}+c\,t\,\hat{k}
com a=2{,}0 m, b=3{,}0 m, c=6{,}0 m e \pi=3{,}1. Pede-se o módulo da velocidade em t=1{,}0 s e a conversão desse valor para km/h. Para resolver, vamos (1) derivar \vec r(t) para obter \vec v(t), (2) avaliar em t=1{,}0 s, (3) calcular o módulo em m/s e (4) converter para km/h.

Passo 2

Derivando componente a componente,
\vec v(t)=\frac{d\vec r}{dt} =-a\bigl(2\pi\bigr)\sin\bigl(2\pi t\bigr)\,\hat{\imath} +b\bigl(2\pi\bigr)\cos\bigl(2\pi t\bigr)\,\hat{\jmath} +c\,\hat{k}.

Passo 3

Avaliaremos em t=1{,}0 s, sabendo que \sin(2\pi\cdot1)=0 e \cos(2\pi\cdot1)=1. Assim,
v_x(1)=0,\quad v_y(1)=b\,(2\pi)=3{,}0\times2\times3{,}1=18{,}6\text{ m/s},\quad v_z(1)=c=6{,}0\text{ m/s}.

Passo 4

O módulo da velocidade em m/s é
\|\vec v(1)\| =\sqrt{0^2+(18{,}6)^2+(6{,}0)^2} =\sqrt{345{,}96+36} =\sqrt{381{,}96}\approx19{,}55\text{ m/s}.
Convertendo para km/h (multiplicando por 3,6):
19{,}55\times3{,}6\approx70{,}38\text{ km/h}.

Resposta

(b) 70\text{ km/h}

Exercícios relacionados