(FUNCERN - IFRN, Edital 18 de 2013) Através da equação de estado de um gás ideal e do Teorema de Stevin para a variação de pressão com a profundidade no interior de um fluido, pode-se mostrar como a pressão atmosférica varia com a altura na atmosfera terrestre. À medida que a altura aumenta, tanto a pressão quanto a densidade diminuem. Supondo que a gravidade,
, e a temperatura,
, permaneçam constantes em todas as altitudes, e que
é a pressão atmosférica ao nível do mar,
é a massa molar da atmosfera,
é a altitude medida a partir do nível do mar e
é a constante de proporcionalidade do gás ideal, a opção que apresenta a equação correta para a pressão atmosférica é
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(d)
.
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
O enunciado pede a variação da pressão atmosférica
com a altitude
, supondo gravidade
e temperatura
constantes. Vamos usar o equilíbrio hidrostático (Teorema de Stevin) e a equação de estado de um gás ideal.
Passo 2
O equilíbrio hidrostático diz que a variação de pressão com a altura satisfaz
onde
é a densidade do ar. Pela equação dos gases ideais, a densidade é
Passo 3
Substituindo
na equação hidrostática, obtemos
Essa é uma equação diferencial separável:
Passo 4
Integrando de
(onde
) até uma altura
, temos
Elevando exponencialmente,
Resposta
(d)