(FUNCERN - IFRN, Edital 18 de 2013) Através da equação de estado de um gás ideal e do Teorema de Stevin para a variação de pressão com a profundidade no interior de um fluido, pode-se mostrar como a pressão atmosférica varia com a altura na atmosfera terrestre. À medida que a altura aumenta, tanto a pressão quanto a densidade diminuem. Supondo que a gravidade, g, e a temperatura, T, permaneçam constantes em todas as altitudes, e que P_{0} é a pressão atmosférica ao nível do mar, M é a massa molar da atmosfera, h é a altitude medida a partir do nível do mar e R é a constante de proporcionalidade do gás ideal, a opção que apresenta a equação correta para a pressão atmosférica é
(a) P=P_{0} e^{R T / M g h}.
(b) P=P_{0}-\left(\frac{M g h}{R T}\right).
(c) P=\left(\frac{M g h}{R T}\right)-P_{0}.
(d) P=P_{0} e^{-M g h / R T}.

Passo 1

O enunciado pede a variação da pressão atmosférica P com a altitude h, supondo gravidade g e temperatura T constantes. Vamos usar o equilíbrio hidrostático (Teorema de Stevin) e a equação de estado de um gás ideal.

Passo 2

O equilíbrio hidrostático diz que a variação de pressão com a altura satisfaz
\frac{dP}{dh} = -\rho\,g
onde \rho é a densidade do ar. Pela equação dos gases ideais, a densidade é
\rho = \frac{m}{V} = \frac{M\,n}{V} = \frac{M\,P}{R\,T}.

Passo 3

Substituindo \rho na equação hidrostática, obtemos
\frac{dP}{dh} = -\frac{M\,g}{R\,T}\,P.
Essa é uma equação diferencial separável:
\frac{dP}{P} = -\frac{M\,g}{R\,T}\,dh.

Passo 4

Integrando de h=0 (onde P=P_{0}) até uma altura h, temos
\int_{P_{0}}^{P}\frac{dP'}{P'} \;=\; -\frac{M\,g}{R\,T}\int_{0}^{h}dh' \;\Longrightarrow\; \ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr) = -\frac{M\,g\,h}{R\,T}.
Elevando exponencialmente,
P = P_{0}\,e^{-\,\frac{M\,g\,h}{R\,T}}.

Resposta

(d) P = P_{0}\,e^{-M g h/(R T)}

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