O funcional para uma viga sobre base elástica, com constante elástica c, submetida a uma carga vertical uniforme q é dado por:
\Pi=\frac{1}{2} E I \int_{0}^{l}\left(v^{\prime \prime}\right)^{2} d x+\frac{1}{2} c \int_{0}^{l} v^{2} d x-\int_{0}^{l} q v d x
sendo E o módulo de Young do material, I o momento de inércia da seção transversal da viga e v(x) a função que representa as deflexões do seu eixo baricêntrico. Obter a equação de Euler-Lagrange para esse funcional.

Passo 1

O enunciado fornece o funcional
\Pi=\frac{1}{2}E I \int_{0}^{l}\bigl(v^{\prime\prime}(x)\bigr)^{2}\,dx+\frac{1}{2}c\int_{0}^{l}v(x)^{2}\,dx-\int_{0}^{l}q\,v(x)\,dx,
com as quantidades conhecidas e constantes E, I, c, q e o campo desconhecido v(x) definido em [0,l]. O que o problema pede é: obter a equação de Euler–Lagrange associada a esse funcional, ou seja, a condição diferencial que v(x) deve satisfazer para tornar \Pi estacionário (mínimo, máximo ou ponto de sela).
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Funcional: }\Pi=\frac{1}{2}E I \int_{0}^{l}\bigl(v^{\prime\prime}\bigr)^{2}dx+\frac{1}{2}c\int_{0}^{l}v^{2}dx-\int_{0}^{l}qv\,dx,\\\ &\text{\(E\), \(I\), \(c\), \(q\) são constantes (ou tratadas como dadas).}\\ &\text{Função incógnita: }v(x).\end{aligned}ãçãó

Passo 2

Ideia básica (mini-aula): para achar a equação de Euler–Lagrange usamos variações de \Pi. Consideramos uma perturbação v(x)+\varepsilon\eta(x) onde \eta(x) é uma variação arbitrária (função suficientemente suave) e \varepsilon pequeno. A condição de estacionariedade é
\left.\frac{d}{d\varepsilon}\Pi[v+\varepsilon\eta]\right|_{\varepsilon=0}=0.
Essa derivada é chamada de variação \delta\Pi. Para funcionais que dependem de v e de derivadas até segunda ordem (aqui aparece v''), a condição de Euler–Lagrange geral é
\frac{\partial L}{\partial v}-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial L}{\partial v'}\right)+\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\frac{\partial L}{\partial v''}\right)=0,
onde L(x,v,v',v'') é o integrando (densidade de energia) do funcional. Vou mostrar como isso surge por integração por partes em seguida.

Passo 3

Identificamos a densidade L a ser integrada no funcional. Comparando com \Pi, temos
L\bigl(x,v,v',v''\bigr)=\frac{1}{2}E I\bigl(v''\bigr)^{2}+\frac{1}{2}c v^{2}-q v.
Observação: L não depende de v' explicitamente (aparece somente v e v''). Para aplicar a fórmula da Euler–Lagrange de ordem superior, precisamos calcular \partial L/\partial v, \partial L/\partial v' e \partial L/\partial v''.

Passo 4

Cálculo das derivadas parciais de L:
\frac{\partial L}{\partial v}=c v - q,
\frac{\partial L}{\partial v'}=0\quad\text{(pois \(L\) não depende de \(v'\))},ã
\frac{\partial L}{\partial v''}=E I\, v''.
Vou explicar cada termo: \partial L/\partial v deriva a parte \tfrac{1}{2}c v^{2}-qv em relação a v, resultando em c v - q. Para \partial L/\partial v'' usamos que \frac{d}{dv''}\bigl(\tfrac{1}{2}E I (v'')^{2}\bigr)=E I\, v''.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de Euler–Lagrange de segunda ordem:
\frac{\partial L}{\partial v}-\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\partial L}{\partial v'}\right)+\frac{d^{2}}{dx^{2}}\!\left(\frac{\partial L}{\partial v''}\right)=0.
Substituindo os termos calculados:
(c v - q)-\frac{d}{dx}(0)+\frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl(E I\, v''\bigr)=0.
Como \frac{d}{dx}(0)=0, isso simplifica para
c v - q + \frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl(E I\, v''\bigr)=0.

Passo 6

Assumindo que E e I são constantes ao longo da viga (como indicado), podemos tirar E I fora da derivada:
\frac{d^{2}}{dx^{2}}\bigl(E I\, v''\bigr)=E I\,\frac{d^{2}}{dx^{2}}(v'')=E I\, v^{(4)},
onde v^{(4)} é a quarta derivada de v em relação a x. Substituindo na equação do passo anterior obtemos
E I\, v^{(4)} + c\, v - q = 0.

Passo 7

Interpretação e forma usual: a equação pode ser reescrita como
E I\, v^{(4)}(x) + c\, v(x) = q,
que é a equação diferencial diferencial ordinária de quarta ordem que descreve o equilíbrio da viga apoiada em base elástica com carga uniforme q. Essa é a equação de Euler–Lagrange para o funcional dado.
Complemento (condições de contorno naturais): ao fazer a variação e integrar por partes duas vezes surgem termos de contorno do tipo
E I\bigl[v''\,\delta v' - v'''\,\delta v\bigr]_{0}^{l}.
Se as variações \delta v e \delta v' forem livres nos extremos, as condições naturais exigem que os coeficientes se anulem em x=0 e x=l:
E I\, v''(0)=0,\quad E I\, v''(l)=0,\quad E I\, v'''(0)=0,\quad E I\, v'''(l)=0.
Se em vez disso v ou v' estiverem prescritos nos extremos (condições essenciais), então as correspondentes \delta v ou \delta v' são nulas e os termos de contorno não impõem condições extras. (A escolha das condições de contorno depende do problema físico: engastada, apoiada etc.)

Resposta

E I\, v^{(4)}(x) + c\, v(x) = q

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