Using the Mean Value Theorem, find where the instantaneous rate of change is equivalent to the average rate of change.
on
Passo 1
O enunciado dá a função
no intervalo
e pede os pontos onde a taxa instantânea de variação é igual à taxa média de variação no intervalo. Informações relevantes: a função
e o intervalo
. A resolução começará calculando a taxa média e depois encontrando os pontos onde a derivada (taxa instantânea) é igual a essa taxa média.
Passo 2
Calcular a taxa média de variação de
em
. A fórmula da taxa média entre
e
é
Aqui
e
. Primeiro avalio
e
:
Portanto a taxa média é
Passo 3
Lema chave (enunciado do Teorema do Valor Médio, só para entender o porquê): se
é contínua em
e diferenciável em
, então existe pelo menos um
tal que
No nosso caso, a função dada é contínua e diferenciável em todo
, logo existe pelo menos um
com
(porque a taxa média calculada é
).
Passo 4
Calcular a derivada (taxa instantânea) de
. Usando a regra da cadeia,
Queremos os pontos onde
, ou seja onde
Dividindo por
,
Passo 5
Resolver a equação trigonométrica
. A solução geral de
é
Aplicando
obtemos
Passo 6
Selecionar os valores de
que colocam
no intervalo
(o Teorema do Valor Médio garante pontos no interior). Testo valores inteiros de
:
- Para
: . Está em . - Para
: . Está em . - Para
: . Está em . - Para
: (fora). - Para
: (fora).
Então os pontos em
onde a derivada é igual à taxa média (igual a
) são
,
e
.