Using the Mean Value Theorem, find where the instantaneous rate of change is equivalent to the average rate of change.
y=\sin 3 x on [0, \pi]
\frac{(0)-(0)}{\pi}=0
y^{\prime}=3 \cos 3 x=0
3 x=\frac{\pi}{2}, 3 x=-\frac{\pi}{2}, \quad 3 x=\frac{3 \pi}{2},-\frac{3 \pi}{2},

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sin 3x no intervalo [0,\pi] e pede os pontos onde a taxa instantânea de variação é igual à taxa média de variação no intervalo. Informações relevantes: a função y=\sin 3x e o intervalo [0,\pi]. A resolução começará calculando a taxa média e depois encontrando os pontos onde a derivada (taxa instantânea) é igual a essa taxa média.

Passo 2

Calcular a taxa média de variação de y em [0,\pi]. A fórmula da taxa média entre x=a e x=b é
\frac{y(b)-y(a)}{b-a}.
Aqui a=0 e b=\pi. Primeiro avalio y(0) e y(\pi):
y(0)=\sin(3\cdot 0)=\sin 0=0,
y(\pi)=\sin(3\pi)=0.
Portanto a taxa média é
\frac{y(\pi)-y(0)}{\pi-0}=\frac{0-0}{\pi}=0.

Passo 3

Lema chave (enunciado do Teorema do Valor Médio, só para entender o porquê): se f é contínua em [a,b] e diferenciável em (a,b), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que
f'\text{(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.
No nosso caso, a função dada é contínua e diferenciável em todo \mathbb{R}, logo existe pelo menos um c\in(0,\pi) com y'\text{(c)}=0 (porque a taxa média calculada é 0).

Passo 4

Calcular a derivada (taxa instantânea) de y=\sin 3x. Usando a regra da cadeia,
y'=\frac{d}{dx}(\sin 3x)=3\cos 3x.
Queremos os pontos onde y'=0, ou seja onde
3\cos 3x=0.
Dividindo por 3,
\cos 3x=0.

Passo 5

Resolver a equação trigonométrica \cos 3x=0. A solução geral de \cos \theta=0 é
\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.
Aplicando \theta=3x obtemos
3x=\frac{\pi}{2}+k\pi \quad\Rightarrow\quad x=\frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{3},\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Selecionar os valores de k que colocam x no intervalo (0,\pi) (o Teorema do Valor Médio garante pontos no interior). Testo valores inteiros de k:
  • Para k=0: x=\dfrac{\pi}{6}. Está em (0,\pi).
  • Para k=1: x=\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\pi}{2}. Está em (0,\pi).
  • Para k=2: x=\dfrac{\pi}{6}+2\cdot\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{5\pi}{6}. Está em (0,\pi).
  • Para k=3: x=\dfrac{7\pi}{6}>\pi (fora).
  • Para k=-1: x=-\dfrac{\pi}{6}<0 (fora).
Então os pontos em [0,\pi] onde a derivada é igual à taxa média (igual a 0) são \dfrac{\pi}{6}, \dfrac{\pi}{2} e \dfrac{5\pi}{6}.

Resposta

\dfrac{\pi}{6}
\dfrac{\pi}{2}
\dfrac{5\pi}{6}

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