O funcionário chamado Carlos tem um colega chamado João que recebe um salário que equivale a um terço do seu salário. Carlos gosta de fazer aplicações na caderneta de poupança e vai aplicar seu salário integralmente nela, pois está rendendo 2 % ao mês. João aplicará seu salário integralmente no fundo de renda fixa, que está rendendo 5% ao mês. Construa um programa que deverá calcular e mostrar a quantidade de meses necessários para que o valor pertencente a João iguale ou ultrapasse o valor pertencente a Carlos. Teste com outros valores para as taxas.

Passo 1

O enunciado diz que Carlos ganha um salário S e João ganha S/3. Carlos aplica seu salário na poupança rendendo 2% ao mês e João aplica no fundo rendendo 5% ao mês. O conteúdo aqui é juros compostos, onde cada montante cresce segundo uma progressão geométrica, e para encontrar o tempo até as aplicações se igualarem vamos usar logaritmos.

Passo 2

Modelamos o montante de Carlos após n meses como:
Cn = S,(1 + rC)^n
e o de João como:
Jn = S3,(1 + rJ)^n
onde rC = 0,02 e rJ = 0,05.

Passo 3

Queremos o menor n tal que Jn >= Cn. Começamos pela desigualdade:
S3(1 + rJ)^n >= S(1 + rC)^n
Podemos simplificar S de ambos os lados e definir o fator inicial f = tfrac13.

Passo 4

Reescrevendo em termos da razão R = 1 + rJ1 + rC e do fator f, temos:
f,(1 + rJ)^n >= (1 + rC)^n Longrightarrow R^n >= 1f
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
n >= lnl(1/fr)ln(R)

Passo 5

Substituindo os valores dados:
R = 1,051,02 approx 1,0294118, f = 13,
n >= ln(3)ln(1,0294118) approx 37,88
Arredondando para cima (pois precisamos do primeiro mês em que ultrapassa): n = 38.

Passo 6

Para implementar em um programa, podemos usar dois métodos:
  1. Fórmula direta: ler rC,rJ,f, calcular
    J < C
  2. Loop de simulação:

    enquanto :

    mostrar meses.

Passo 7

Teste com outras taxas, por exemplo rC=0,01, rJ=0,02, mantendo f=1/3:
R = tfrac1,021,01 approx 1,00990099
n >= ln(3)ln(1,00990099) approx 111,04
Logo seriam 112 meses para essas taxas.

Resposta

38 meses

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