As funções y1 = x e y1 = -1 / (2 x) são soluções para x^2 y'' + x y' - y = 1/(x - 1). Determinar uma solução particular para essa equação no intervalo (0, infinito).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo , e já sabemos que as funções e resolvem a parte homogênea dessa equação (ou seja, sem o lado direito). Nosso objetivo é encontrar uma solução particular para essa equação no intervalo de . Para isso, vamos usar o método da variação de parâmetros, que nos ajuda a encontrar soluções específicas quando sabemos as soluções da parte homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação diferencial linear de segunda ordem. A forma geral é:
No nosso caso, , , e . As soluções da equação homogênea associada são e .

Passo 3

Agora, vamos usar o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular . Esse método nos diz que, se já conhecemos as soluções da homogênea, podemos construir da seguinte forma:
Onde e são funções que vamos determinar. Para encontrá-las, precisamos resolver um sistema de equações derivadas das condições impostas pelo método.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas necessárias. Primeiro, derivamos :
Mas para simplificar, impomos que:
Isso nos ajuda a reduzir a complexidade das expressões. Substituindo na equação original, obtemos outra equação para resolver e . Após algumas manipulações, chegamos a:
Onde é o Wronskiano das soluções e .

Passo 5

Vamos calcular o Wronskiano :
Com e , temos:
Portanto:
Agora, substituímos e nas expressões de e :
Agora, integramos e para encontrar e :
Para integrar , fazemos uma divisão polinomial:
Então,

Resposta

Com os valores de e , a solução particular é:
Simplificando, obtemos:
Essa é uma solução particular para a equação diferencial dada no intervalo .

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