Seja k um número real, não nulo. Mostrar que, as funções y1(t) = cos(b t) e y2(t) = sen(bt), são soluções fundamentais da equação diferencial y''(t) + k^2 y(t) = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma equação diferencial do tipo e duas funções propostas: e . Nosso objetivo é mostrar que essas duas funções são soluções fundamentais dessa equação. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem e verificar se as funções dadas realmente satisfazem a equação.

Passo 2

Vamos começar verificando se é uma solução da equação diferencial. Para isso, precisamos calcular a segunda derivada de .
Primeiro, a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:
Substituindo e na equação diferencial:
Para que seja solução, devemos ter:
Como não é sempre zero, isso implica que:
Vamos assumir para simplificar, já que é apenas uma constante.

Passo 3

Agora, vamos verificar se também é uma solução da equação diferencial. Calculamos a segunda derivada de .
Primeiro, a primeira derivada de :
Agora, a segunda derivada:
Substituindo e na equação diferencial:
Novamente, para que seja solução, devemos ter:
E, assim como antes, isso nos leva a:
Assumindo , confirmamos que também satisfaz a equação diferencial.

Passo 4

Para concluir que e são soluções fundamentais, precisamos verificar se elas são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra.

Uma maneira de verificar a independência linear é calcular o Wronskiano dessas funções:
[
W(y_1, y_2) =


]
Calculando o determinante:
Como , o Wronskiano é diferente de zero, o que confirma que e são linearmente independentes.

Resposta

Assim, mostramos que as funções e são soluções fundamentais da equação diferencial .

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