As funções
\cos x, \cos 2 x, \ldots, \cos 2025 x
são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado pergunta se as funções
\cos x,\;\cos 2x,\;\dots,\;\cos 2025x
são linearmente independentes no espaço das funções reais de variável real. O conteúdo aqui é o conceito de independência linear de funções e vamos usar a ortogonalidade das funções cosseno em [0,2\pi] para mostrar que qualquer combinação linear que se anule identicamente implica coeficientes nulos.

Passo 2

Suponha que existam constantes reais a_1,a_2,\dots,a_{2025} tais que para todo x\in\mathbb{R} valha
a_1\cos x + a_2\cos 2x + \cdots + a_{2025}\cos(2025x) = 0.
Queremos provar que necessariamente a_1 = a_2 = \cdots = a_{2025} = 0.

Passo 3

Usamos a propriedade de ortogonalidade dos cossenos no intervalo [0,2\pi], que diz:
\int_{0}^{2\pi} \cos(kx)\,\cos(mx)\,dx = \begin{cases} 0, & k\neq m,\\\ \pi, & k=m. \end{cases}

Passo 4

Multiplicamos a combinação que se anula por \cos(mx) e integramos de 0 a 2\pi. Para um índice fixo m entre 1 e 2025 temos
\int_{0}^{2\pi}\Bigl(a_1\cos x + \cdots + a_{2025}\cos(2025x)\Bigr)\cos(mx)\,dx = 0.
Pela linearidade da integral,
a_1\int_{0}^{2\pi}\cos x\cos(mx)\,dx + \cdots + a_{2025}\int_{0}^{2\pi}\cos(2025x)\cos(mx)\,dx = 0.

Passo 5

Pela ortogonalidade, todos os termos com k\neq m se anulam, sobrando apenas
a_m \int_{0}^{2\pi}\cos(mx)\cos(mx)\,dx = a_m\cdot\pi = 0.
Logo a_m = 0. Como isso vale para todo m=1,2,\dots,2025, concluímos que todos os a_m são nulos.

Resposta

Sim, as funções \cos x,\cos 2x,\dots,\cos 2025x são linearmente independentes.

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