As funções
são linearmente independentes?
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto de funções
é linearmente independente. Lembrando que um conjunto de funções
é linearmente independente se a única combinação linear
só ocorre quando todos os coeficientes
são zero. Para provar isso aqui, vamos usar a propriedade de ortogonalidade das funções
no intervalo
.
Passo 2
Suponha que existam escalares
tais que
Multiplicamos ambos os lados por
, com
fixo em
, e integramos de
a
:
Passo 3
Pela ortogonalidade sabemos que, para
,
e para
,
Assim a integral do passo anterior reduz-se a
Como isso vale para cada
, todos os
devem ser zero.
Resposta
Sim, as funções
são linearmente independentes.