As funções
\operatorname{sen} x, \operatorname{sen} 2 x, \ldots, \operatorname{sen} 17 x
são linearmente independentes?

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto de funções
\sin x,\;\sin 2x,\;\dots,\;\sin 17x
é linearmente independente. Lembrando que um conjunto de funções \{f_1,\dots,f_n\} é linearmente independente se a única combinação linear
\sum_{k=1}^{n}a_k\,f_k(x)=0\quad\text{para todo }x
só ocorre quando todos os coeficientes a_k são zero. Para provar isso aqui, vamos usar a propriedade de ortogonalidade das funções \sin(kx) no intervalo [-\pi,\pi].

Passo 2

Suponha que existam escalares a_1,a_2,\dots,a_{17} tais que
\sum_{k=1}^{17}a_k\,\sin(kx)=0\quad\text{para todo }x\in[-\pi,\pi].
Multiplicamos ambos os lados por \sin(mx), com m fixo em \{1,2,\dots,17\}, e integramos de -\pi a \pi:
\int_{-\pi}^{\pi}\Bigl(\sum_{k=1}^{17}a_k\,\sin(kx)\Bigr)\sin(mx)\,dx=0.

Passo 3

Pela ortogonalidade sabemos que, para k\neq m,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,\sin(mx)\,dx=0,
e para k=m,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)\,dx=\pi.
Assim a integral do passo anterior reduz-se a
a_m\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)\,dx = a_m\,\pi = 0\quad\Longrightarrow\quad a_m=0.
Como isso vale para cada m=1,2,\dots,17, todos os a_k devem ser zero.

Resposta

Sim, as funções \sin x,\sin 2x,\dots,\sin 17x são linearmente independentes.

Exercícios relacionados