Funções definidas por partes: Para cada função abaixo, determine se o limite existe no ponto indicado.
g(x)= \begin{cases}x^{2}-1, & \text { se } x<0 \\\\ 2 x+3, & \text { se } x \geq 0\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 0} g(x).

Passo 1

O enunciado dá a função definida por partes
g(x)= \begin{cases} x^{2}-1, & \text{se } x<0,\\[4pt] 2x+3, & \text{se } x\ge 0, \end{cases}
e pede para determinar \lim_{x\rightarrow 0} g(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x<0 a regra é \,x^{2}-1.
  • Para x\ge 0 a regra é \,2x+3.
  • O ponto onde o limite deve ser avaliado é x=0.]

Passo 2

Conceito importante (explicado de forma direta): para que o limite \lim_{x\rightarrow 0} g(x) exista, os dois limites laterais devem existir e ser iguais. Ou seja, é necessário que
\lim_{x\rightarrow 0^-} g(x) \quad\text{e}\quad \lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)
exista e que
\lim_{x\rightarrow 0^-} g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} g(x).
Aqui \lim_{x\rightarrow 0^-} significa aproximar x de 0 vindo pela esquerda (valores negativos), e \lim_{x\rightarrow 0^+} significa aproximar x de 0 vindo pela direita (valores positivos).
Dica prática: cada ramo da função é uma função polinomial ou linear. Essas funções são contínuas em todo ponto, então o limite quando x se aproxima de 0 pelo respectivo lado é obtido apenas substituindo x=0 naquela expressão do ramo.

Passo 3

Calcular o limite pela esquerda. Para x<0 usamos a expressão \,x^{2}-1. Então
\lim_{x\rightarrow 0^-} g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^-} (x^{2}-1).
Como x^{2}-1 é contínua, podemos substituir x=0:
\lim_{x\rightarrow 0^-} (x^{2}-1)=0^{2}-1=-1.

Passo 4

Calcular o limite pela direita. Para x\ge 0 usamos a expressão \,2x+3. Então
\lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^+} (2x+3).
Como 2x+3 é contínua, substituímos x=0:
\lim_{x\rightarrow 0^+} (2x+3)=2\cdot 0+3=3.

Passo 5

Comparando os dois resultados:
\lim_{x\rightarrow 0^-} g(x)=-1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\rightarrow 0^+} g(x)=3.
Como -1\neq 3, os limites laterais são diferentes, logo o limite bilateral \lim_{x\rightarrow 0} g(x) não existe.
Observação adicional (útil para a prova): o valor da função em 0 é g(0)=2\cdot 0+3=3, então mesmo que g(0)=3, isso não muda o fato de que o limite em 0 não existe porque o ramo pela esquerda tende a -1.

Resposta

\lim_{x\rightarrow 0} g(x) não existe.

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