Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^{5}+2 x^{4}+4 x^{3}+8 x^{2}+16 x+32}{x^{4}+4 x^{3}+6 x^{2}+4 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-2}\frac{x^{5}+2x^{4}+4x^{3}+8x^{2}+16x+32}{x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x}.
Informações dadas (polinômios):
  • Numerador: N(x)=x^{5}+2x^{4}+4x^{3}+8x^{2}+16x+32.
  • Denominador: D(x)=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x.
O que se pede: o valor do limite quando x se aproxima de -2.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se o limite é imediato). Calcular N(-2) e D(-2).
Cálculo de N(-2):
\begin{aligned} N(-2) &= (-2)^{5}+2(-2)^{4}+4(-2)^{3}+8(-2)^{2}+16(-2)+32\\\ &= -32 + 2\cdot16 +4\cdot(-8) +8\cdot4 +16\cdot(-2) +32\\\ &= -32 +32 -32 +32 -32 +32 = 0. \end{aligned}
Cálculo de D(-2):
\begin{aligned} D(-2) &= (-2)^{4}+4(-2)^{3}+6(-2)^{2}+4(-2)\\\ &= 16 +4\cdot(-8) +6\cdot4 +4\cdot(-2)\\\ &= 16 -32 +24 -8 = 0. \end{aligned}
Conclusão deste passo: substituição direta dá forma indeterminada 0/0. Isso indica que (x+2) é um fator comum de N(x) e D(x) (teorema do resto / fator). Para remover a indeterminação vamos dividir ambos os polinômios por (x+2).

Passo 3

Explicação rápida do método que vou usar (divisão por (x+2)): usar divisão polinomial (síntese/synthetic division) para dividir por (x - a) usando a=-2. A ideia é obter os quocientes
N(x)=(x+2)\,Q_N(x),\qquad D(x)=(x+2)\,Q_D(x),
então o limite será
\lim_{x\to-2}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)Q_N(x)}{(x+2)Q_D(x)}=\frac{Q_N(-2)}{Q_D(-2)},
desde que Q_D(-2)\neq 0. Vou aplicar a divisão sintética passo a passo (é uma forma rápida de fazer divisão por x+2).

Passo 4

Divisão sintética de N(x) por (x+2) (raiz a=-2).
Coeficientes de N(x): 1,\;2,\;4,\;8,\;16,\;32.
Procedimento (trazer o 1, multiplicar por -2, somar, e assim por diante):
\begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1 & 2 & 4 & 8 & 16 & 32\\hline & & -2 & 0 & -8 & 0 & -32\\\ & 1 & 0 & 4 & 0 & 16 & 0 \end{array}
Interpretação dos resultados: a última linha (exceto o último zero) são os coeficientes do quociente. Portanto
Q_N(x)=x^{4}+0x^{3}+4x^{2}+0x+16 = x^{4}+4x^{2}+16,
e o resto é 0, confirmando que (x+2) é fator de N(x).

Passo 5

Divisão sintética de D(x) por (x+2).
Coeficientes de D(x): 1,\;4,\;6,\;4,\;0 (observe que o termo constante é 0).
Aplicando a divisão sintética com a=-2:
\begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1 & 4 & 6 & 4 & 0\\hline & & -2 & -4 & -4 & 0\\\ & 1 & 2 & 2 & 0 & 0 \end{array}
Da última linha obtemos o quociente
Q_D(x)=x^{3}+2x^{2}+2x+0 = x^{3}+2x^{2}+2x,
e o resto é 0. Portanto D(x)=(x+2)Q_D(x).

Passo 6

Agora que cancelamos (x+2), o limite simplifica para
\lim_{x\to-2}\frac{N(x)}{D(x)}=\lim_{x\to-2}\frac{(x+2)Q_N(x)}{(x+2)Q_D(x)}=\lim_{x\to-2}\frac{Q_N(x)}{Q_D(x)}.
Substituir os quocientes encontrados:
\lim_{x\to-2}\frac{x^{4}+4x^{2}+16}{x^{3}+2x^{2}+2x}.
Agora calcular Q_N(-2) e Q_D(-2).
Cálculo de Q_N(-2):
Q_N(-2)=(-2)^{4}+4(-2)^{2}+16=16 +4\cdot4 +16 = 16+16+16 = 48.
Cálculo de Q_D(-2):
Q_D(-2)=(-2)^{3}+2(-2)^{2}+2(-2) = -8 + 2\cdot4 -4 = -8 +8 -4 = -4.

Passo 7

Portanto o valor do limite é
\frac{Q_N(-2)}{Q_D(-2)}=\frac{48}{-4}=-12.
Verificação: Q_D(-2)\neq 0, então a simplificação foi válida e não há nova indeterminação.

Resposta

-12

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