Divisão de polinômios: Use divisão de polinômios para calcular os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (polinômios):
- Numerador:
. - Denominador:
.
O que se pede: o valor do limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Teste de substituição direta (para ver se o limite é imediato). Calcular
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Conclusão deste passo: substituição direta dá forma indeterminada
. Isso indica que
é um fator comum de
e
(teorema do resto / fator). Para remover a indeterminação vamos dividir ambos os polinômios por
.
Passo 3
Explicação rápida do método que vou usar (divisão por
): usar divisão polinomial (síntese/synthetic division) para dividir por
usando
. A ideia é obter os quocientes
então o limite será
desde que
. Vou aplicar a divisão sintética passo a passo (é uma forma rápida de fazer divisão por
).
Passo 4
Divisão sintética de
por
(raiz
).
Coeficientes de
:
.
Procedimento (trazer o 1, multiplicar por
, somar, e assim por diante):
Interpretação dos resultados: a última linha (exceto o último zero) são os coeficientes do quociente. Portanto
e o resto é
, confirmando que
é fator de
.
Passo 5
Divisão sintética de
por
.
Coeficientes de
:
(observe que o termo constante é
).
Aplicando a divisão sintética com
:
Da última linha obtemos o quociente
e o resto é
. Portanto
.
Passo 6
Agora que cancelamos
, o limite simplifica para
Substituir os quocientes encontrados:
Agora calcular
e
.
Cálculo de
:
Cálculo de
:
Passo 7
Portanto o valor do limite é
Verificação:
, então a simplificação foi válida e não há nova indeterminação.