Funções definidas por partes: Para cada função abaixo, determine se o limite existe no ponto indicado.
h(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2}, & \text { se } x \neq 2 \\\\ 5, & \text { se } x=2\end{cases}
Determine \lim _{x \rightarrow 2} h(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função definida por partes
h(x)= \begin{cases}\dfrac{x^{2}-4}{x-2}, & \text{se } x \neq 2, \\[6pt] 5, & \text{se } x=2.\end{cases}
O que é pedido: determinar \lim_{x\rightarrow 2} h(x).
Informações relevantes fornecidas:
  • Para x\neq 2, h(x)=\dfrac{x^{2}-4}{x-2}.
  • O valor da função exatamente em x=2 é h(2)=5.
  • A questão pede o limite quando x se aproxima de 2, ou seja, o comportamento de h(x) para x próximos de 2 (mas x\neq 2).]

Passo 2

Conceito importante sobre limites (explicado de forma simples):
  • O limite \lim_{x\to a} f(x) olha apenas no que acontece com f(x) quando x se aproxima de a, sem se preocupar com o valor que a função tem exatamente em a.
  • Para o limite em a existir é necessário que os limites laterais existam e sejam iguais: \lim_{x\to a^-} f(x)=\lim_{x\to a^+} f(x).
  • Se a função for igual a uma expressão algébrica simples (como um polinômio) em todo um intervalo ao redor de a, podemos simplesmente substituir x=a na expressão (essa é a propriedade de continuidade das funções polinomiais).
No nosso caso, como o valor de h em x=2 é dado separadamente, devemos olhar o que acontece com a expressão \dfrac{x^{2}-4}{x-2} quando x se aproxima de 2 (sempre lembrando que nessa expressão x não pode ser exatamente 2).

Passo 3

Vamos simplificar a expressão para x\neq 2. Primeiro fatoramos o numerador:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).
Portanto, para x\neq 2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como estamos considerando x\neq 2, podemos cancelar o fator x-2 no numerador e denominador, obtendo a expressão equivalente
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\qquad\text{para }x\neq 2.

Passo 4

Interpretação prática: para valores de x próximos de 2 (mas diferentes de 2), a função h(x) vale exatamente x+2. Logo os limites laterais coincidem e são os limites de x+2 quando x\to 2. Pela propriedade de continuidade dos polinômios,
\lim_{x\to 2} (x+2)=2+2.
Observação didática: aqui houve uma simplificação que removeu a indeterminação aparente \tfrac{0}{0}. Esse tipo de situação chama-se descontinuidade removível quando a expressão simplificada tem um valor bem definido no ponto, mas a definição original da função no ponto dá um valor diferente.

Passo 5

Comparando com o valor da função em 2: foi dado que h(2)=5, enquanto o comportamento de h(x) ao se aproximar de 2 (isto é, o limite) é 2+2. Como esses números são diferentes, a função tem uma descontinuidade removível em x=2 — o limite existe, mas é diferente do valor da função naquele ponto.

Resposta

4

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