As funções diferenciáveis y=y(x), z=z(x), definidas no intervalo aberto I, são dadas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.
onde F e G são supostas diferenciáveis num aberto de \mathbb{R}^{3}. Expresse \frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x} em termos das derivadas parciais de F e de G.
Passo 1
O enunciado dá um sistema implícito de duas equações com duas funções desconhecidas y=y(x) e z=z(x):
onde F e G são diferenciáveis num aberto de \mathbb{R}^3.
O que se pede: expressar \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dz}{dx} em termos das derivadas parciais de F e G.
Informações relevantes dadas:
As funções y(x) e z(x) são diferenciáveis em I.
As funções F e G têm derivadas parciais F_x, F_y, F_z e G_x, G_y, G_z bem definidas (sendo F_x=\partial F/\partial x, etc.).
Deve-se usar diferenciação implícita (regra da cadeia) e resolver o sistema resultante para obter y' e z'.]
Passo 2
Primeiro passo técnico: aplicar a diferenciação em cada equação usando a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia neste contexto: se F depende de x, y(x) e z(x), então a derivada total de F em relação a x é a soma das derivadas parciais vezes as derivadas das variáveis internas. Em símbolos,
Aqui F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}, F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}, F_z=\dfrac{\partial F}{\partial z}, e \dfrac{dy}{dx},\dfrac{dz}{dx} são as incógnitas que queremos achar. A mesma ideia vale para G.
Passo 3
Como F(x,y(x),z(x))\equiv 0 para todo x\in I, a derivada total vale zero. Aplicando o mesmo raciocínio a G, obtemos o sistema linear para \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dz}{dx}:
onde escrevi y'=\dfrac{dy}{dx} e z'=\dfrac{dz}{dx}. Para resolver, uso a regra de Cramer (ou eliminação), que dá soluções em termos de determinantes. Defino o determinante comum (Jacobian parcial em relação a y,z):
As fórmulas usam apenas derivadas parciais de F e G. Sempre escreva explicitamente F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}, etc., avaliadas em (x,y(x),z(x)) se for calcular numericamente.
É necessário que D=F_y G_z - F_z G_y\neq 0 no ponto considerado; caso contrário não há solução única (pode haver infinitas soluções locais ou nenhuma).
Essas fórmulas são úteis na prova: primeiro diferencie implicitamente, forme o sistema linear e use Cramer ou eliminação para isolar y' e z'. Isso dá exatamente as expressões acima.
Passo 7
Pequeno exemplo numérico (para fixar): suponha
F(x,y,z)=x+y+z-1,\qquad G(x,y,z)=x+2y+3z-4.
Então F_x=1, F_y=1, F_z=1 e G_x=1, G_y=2, G_z=3. Calcula-se
Verificação rápida: diferenciando as equações originais obtém-se 1+y'+z'=0 e 1+2y'+3z'=0, que tem solução y'=-2,z'=1, coincide com as fórmulas — tranquilo!