As funções diferenciáveis y=y(x), z=z(x), definidas no intervalo aberto I, são dadas implicitamente pelo sistema
\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\\ G(x, y, z)=0 \end{array}\right.
onde F e G são supostas diferenciáveis num aberto de \mathbb{R}^{3}. Expresse \frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x} em termos das derivadas parciais de F e de G.

Passo 1

O enunciado dá um sistema implícito de duas equações com duas funções desconhecidas y=y(x) e z=z(x):
\left\{\begin{array}{l} F(x,y,z)=0,\\[4pt] G(x,y,z)=0, \end{array}\right.
onde F e G são diferenciáveis num aberto de \mathbb{R}^3.
O que se pede: expressar \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dz}{dx} em termos das derivadas parciais de F e G.
Informações relevantes dadas:
  • As funções y(x) e z(x) são diferenciáveis em I.
  • As funções F e G têm derivadas parciais F_x, F_y, F_z e G_x, G_y, G_z bem definidas (sendo F_x=\partial F/\partial x, etc.).
  • Deve-se usar diferenciação implícita (regra da cadeia) e resolver o sistema resultante para obter y' e z'.]

Passo 2

Primeiro passo técnico: aplicar a diferenciação em cada equação usando a regra da cadeia. Vou explicar a regra da cadeia neste contexto: se F depende de x, y(x) e z(x), então a derivada total de F em relação a x é a soma das derivadas parciais vezes as derivadas das variáveis internas. Em símbolos,
\frac{d}{dx}F(x,y(x),z(x))=F_x(x,y,z)\cdot 1 + F_y(x,y,z)\cdot \frac{dy}{dx} + F_z(x,y,z)\cdot \frac{dz}{dx}.
Aqui F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}, F_y=\dfrac{\partial F}{\partial y}, F_z=\dfrac{\partial F}{\partial z}, e \dfrac{dy}{dx},\dfrac{dz}{dx} são as incógnitas que queremos achar. A mesma ideia vale para G.

Passo 3

Como F(x,y(x),z(x))\equiv 0 para todo x\in I, a derivada total vale zero. Aplicando o mesmo raciocínio a G, obtemos o sistema linear para \dfrac{dy}{dx} e \dfrac{dz}{dx}:
\left\{\begin{array}{l} F_x + F_y\,\dfrac{dy}{dx} + F_z\,\dfrac{dz}{dx}=0,\\[6pt] G_x + G_y\,\dfrac{dy}{dx} + G_z\,\dfrac{dz}{dx}=0. \end{array}\right.
Aqui, para abreviar, todos os termos F_x,F_y,\dots são avaliados em (x,y(x),z(x)), mas mantenho a notação simples.]

Passo 4

Agora temos um sistema linear 2\times2 na forma
\left\{\begin{array}{l} F_y\,y' + F_z\,z' = -F_x,\\[4pt] G_y\,y' + G_z\,z' = -G_x, \end{array}\right.
onde escrevi y'=\dfrac{dy}{dx} e z'=\dfrac{dz}{dx}. Para resolver, uso a regra de Cramer (ou eliminação), que dá soluções em termos de determinantes. Defino o determinante comum (Jacobian parcial em relação a y,z):
D = \begin{vmatrix} F_y & F_z \\[4pt] G_y & G_z \end{vmatrix} = F_y G_z - F_z G_y.
A condição D\neq 0 garante solução única para (y',z'). Vou aplicar Cramer para obter y' e z'.]

Passo 5

Cramer: a solução para y' é o determinante obtido trocando a coluna das incógnitas pela coluna dos termos constantes, dividido por D. Isso dá
y'=\dfrac{\begin{vmatrix} -F_x & F_z \\[4pt] -G_x & G_z \end{vmatrix}}{D} =\dfrac{-F_x G_z - (-G_x)F_z}{D} =\dfrac{F_z G_x - F_x G_z}{F_y G_z - F_z G_y}.
De forma semelhante para z':
z'=\dfrac{\begin{vmatrix} F_y & -F_x \\[4pt] G_y & -G_x \end{vmatrix}}{D} =\dfrac{F_y(-G_x) - (-F_x)G_y}{D} =\dfrac{F_x G_y - F_y G_x}{F_y G_z - F_z G_y}.]

Passo 6

Interpretação e observações práticas:
  • As fórmulas usam apenas derivadas parciais de F e G. Sempre escreva explicitamente F_x=\dfrac{\partial F}{\partial x}, etc., avaliadas em (x,y(x),z(x)) se for calcular numericamente.
  • É necessário que D=F_y G_z - F_z G_y\neq 0 no ponto considerado; caso contrário não há solução única (pode haver infinitas soluções locais ou nenhuma).
  • Essas fórmulas são úteis na prova: primeiro diferencie implicitamente, forme o sistema linear e use Cramer ou eliminação para isolar y' e z'. Isso dá exatamente as expressões acima.

Passo 7

Pequeno exemplo numérico (para fixar): suponha
F(x,y,z)=x+y+z-1,\qquad G(x,y,z)=x+2y+3z-4.
Então F_x=1, F_y=1, F_z=1 e G_x=1, G_y=2, G_z=3. Calcula-se
D=F_y G_z - F_z G_y = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 1\neq 0.
Aplicando as fórmulas,
y'=\dfrac{F_z G_x - F_x G_z}{D}=\dfrac{1\cdot 1 - 1\cdot 3}{1}=-2, \qquad z'=\dfrac{F_x G_y - F_y G_x}{D}=\dfrac{1\cdot 2 - 1\cdot 1}{1}=1.
Verificação rápida: diferenciando as equações originais obtém-se 1+y'+z'=0 e 1+2y'+3z'=0, que tem solução y'=-2,z'=1, coincide com as fórmulas — tranquilo!

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{F_z\,G_x - F_x\,G_z}{F_y\,G_z - F_z\,G_y}
\frac{dz}{dx}=\frac{F_x\,G_y - F_y\,G_x}{F_y\,G_z - F_z\,G_y}

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