Sejam f(x, y)=x y e \gamma(t)=\left(t^{3}, t^{2}\right). Considere a composta F(t)=f(\gamma(t)).
(a) Calcule F(t);
(b) Calcule F^{\prime}(t) e verifique que F^{\prime}(t)=\nabla f(\gamma(t)) \cdot \gamma^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Função de duas variáveis: f(x,y)=x\,y.
  • Curva paramétrica: \gamma(t)=\big(t^{3},t^{2}\big).
  • Define-se a composta F(t)=f(\gamma(t)).
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular F(t).
(b) Calcular F'(t) e verificar que
F'(t)=\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t).

Passo 2

Vamos calcular F(t) fazendo a composição: isto é, substituir x e y em f(x,y) pelos componentes de \gamma(t). A função f é f(x,y)=x\,y. As componentes de \gamma(t) são \gamma_{1}(t)=t^{3} e \gamma_{2}(t)=t^{2}. Então, por substituição,
F(t)=f\big(\gamma(t)\big)=f\big(\gamma_{1}(t),\gamma_{2}(t)\big).

Passo 3

Agora faça a multiplicação explícita usando as componentes:
F(t)=\gamma_{1}(t)\cdot \gamma_{2}(t)=t^{3}\cdot t^{2}.
Lembre que ao multiplicar potências de mesma base soma-se os expoentes: t^{3}\cdot t^{2}=t^{3+2}=t^{5}. Assim,
F(t)=t^{5}.

Passo 4

Calculando F'(t): aqui usamos a regra de derivação de potências (regra do poder), que diz que se g(t)=t^{n} com n constante inteira ou real, então g'(t)=n\,t^{n-1}. Aplicando com n=5,
F'(t)=\frac{d}{dt}\big(t^{5}\big)=5\,t^{4}.

Passo 5

Agora vamos calcular o lado direito da identidade que queremos verificar:
\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t).
Primeiro obtenha o gradiente \nabla f(x,y). O gradiente é o vetor das derivadas parciais; ou seja,
\nabla f(x,y)=\big(\partial_{x}f(x,y),\;\partial_{y}f(x,y)\big).
Para f(x,y)=x\,y temos:
\partial_{x}f(x,y)=y\qquad\text{e}\qquad \partial_{y}f(x,y)=x.
Portanto
\nabla f(x,y)=\big(y,x\big).

Passo 6

Avalie o gradiente ao longo da curva \gamma(t). Como a componente y de \gamma é \gamma_{2}(t)=t^{2} e a componente x é \gamma_{1}(t)=t^{3}, obtemos
\nabla f\big(\gamma(t)\big)=\big(\gamma_{2}(t),\gamma_{1}(t)\big)=\big(t^{2},t^{3}\big).

Passo 7

Calcule agora \gamma'(t), o vetor velocidade da curva: derivando componente a componente,
\gamma'(t)=\big(\tfrac{d}{dt}t^{3},\;\tfrac{d}{dt}t^{2}\big)=\big(3t^{2},\,2t\big).

Passo 8

Faça o produto escalar (dot product) entre \nabla f(\gamma(t)) e \gamma'(t). Lembre que o produto escalar de (a,b) com (c,d) é a c + b d. Aplicando:
\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=\big(t^{2},t^{3}\big)\cdot\big(3t^{2},2t\big).
Calculando termo a termo:
t^{2}\cdot 3t^{2} + t^{3}\cdot 2t = 3t^{4} + 2t^{4} = 5t^{4}.

Passo 9

Compare os dois resultados: de um lado tínhamos F'(t)=5t^{4} (Passo 4) e do outro \nabla f(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=5t^{4} (Passo 8). São iguais, portanto a igualdade pedida está verificada.
Comentário rápido e intuitivo: essa verificação é um caso concreto da regra da cadeia para funções reais obtidas ao compor uma função de várias variáveis com uma curva. O gradiente dá a direção de maior crescimento de f e o produto escalar com a velocidade da curva mede quanto f muda quando se anda ao longo da curva — por isso aparece a igualdade.

Resposta

(a) F(t)=t^{5}
(b) F'(t)=5t^{4} e F'(t)=\nabla f(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)=5t^{4}

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