Sejam
e
. Considere a composta
.
(a) Calcule
;
(b) Calcule
e verifique que
.
(a) Calcule
(b) Calcule
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
- Função de duas variáveis:
. - Curva paramétrica:
. - Define-se a composta
.
Perguntas do enunciado:
(a) Calcular .
(b) Calcular e verificar que
(a) Calcular
(b) Calcular
Passo 2
Vamos calcular
fazendo a composição: isto é, substituir
e
em
pelos componentes de
. A função
é
. As componentes de
são
e
. Então, por substituição,
Passo 3
Agora faça a multiplicação explícita usando as componentes:
Lembre que ao multiplicar potências de mesma base soma-se os expoentes:
. Assim,
Passo 4
Calculando
: aqui usamos a regra de derivação de potências (regra do poder), que diz que se
com
constante inteira ou real, então
. Aplicando com
,
Passo 5
Agora vamos calcular o lado direito da identidade que queremos verificar:
Primeiro obtenha o gradiente
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais; ou seja,
Para
temos:
Portanto
Passo 6
Avalie o gradiente ao longo da curva
. Como a componente
de
é
e a componente
é
, obtemos
Passo 7
Calcule agora
, o vetor velocidade da curva: derivando componente a componente,
Passo 8
Faça o produto escalar (dot product) entre
e
. Lembre que o produto escalar de
com
é
. Aplicando:
Calculando termo a termo:
Passo 9
Compare os dois resultados: de um lado tínhamos
(Passo 4) e do outro
(Passo 8). São iguais, portanto a igualdade pedida está verificada.
Comentário rápido e intuitivo: essa verificação é um caso concreto da regra da cadeia para funções reais obtidas ao compor uma função de várias variáveis com uma curva. O gradiente dá a direção de maior crescimento de
e o produto escalar com a velocidade da curva mede quanto
muda quando se anda ao longo da curva — por isso aparece a igualdade.
Resposta
(a)
(b) e
(b)